Équation du second degré à paramètre

Une équation du second degré à paramètre se distingue d’une équation ordinaire par la présence d’un paramètre supplémentaire, souvent noté p ou m. Il s’agit alors de déterminer quelles solutions l’équation admet selon la valeur de ce paramètre p.

Premier exemple

Considérons l’équation suivante, dont le paramètre est p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Quelles sont les différentes solutions de cette équation selon la valeur du paramètre p ? On peut distinguer trois cas : l’équation n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels, elle a deux solutions égales, ou elle a deux solutions distinctes. On distingue ces cas à l’aide du discriminant.

Le paramètre se comporte comme une constante : pour l’équation précédente, a = 1, b = 2p et c = 9. Calculons maintenant le discriminant de la manière habituelle :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Le discriminant vaut donc Δ= 4p² − 36. Il faut maintenant déterminer quand ce discriminant est strictement positif, strictement négatif ou nul.

Commençons par le cas le plus simple, où le discriminant est nul. Il faut donc résoudre l’équation 4p² − 36 = 0. Pour quelles valeurs de p est-elle vérifiée ? C’est une équation du second degré incomplète, qui se résout facilement :

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Si le paramètre p vaut plus ou moins 3, l’équation a une solution double.

Résolvons maintenant le cas où le discriminant est strictement positif. Il faut pour cela résoudre l’inéquation du second degré

$$4p^2-36>0.$$

Nous connaissons déjà les zéros de la fonction f(p) = 4p² − 36, calculés à l’étape précédente. Ils permettent de construire deux intervalles, un intervalle « intérieur » et un intervalle « extérieur ».

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty };-3[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3;3[\end{array}$$

Sur l’un de ces intervalles, la fonction f(p) est strictement positive, sur l’autre elle est strictement négative. Pour le savoir, on remplace la variable par une valeur prise dans l’un des intervalles. Le plus simple est de prendre zéro dans I₂. On a f(0) = 0 − 36 = −36. La fonction est donc strictement négative sur I₂ et strictement positive sur I₁.

On en déduit que sur I₁ l’équation a deux solutions distinctes, et que sur I₂ elle n’a aucune solution réelle. Tu peux observer la courbe de la fonction f(p) = 4p² − 36 : elle s’annule en −3 et en 3, elle est strictement négative sur I₂ et strictement positive sur I₁.

Calcul des racines de l’équation

Il nous reste à calculer les solutions dans les cas où l’équation en admet. Commençons par le cas où l’équation a une racine double, c’est-à-dire lorsque le discriminant est nul. Cela se produit lorsque le paramètre vaut plus ou moins la racine carrée de neuf.

Premier cas, p = 3. L’équation a alors la forme :

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Calculons le discriminant de cette équation. Il devrait être nul :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculons la racine à l’aide de la formule :

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Deuxième cas, p = −3. L’équation a la forme :

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Calculons le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculons la racine :

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Pour finir, déterminons les solutions lorsque le paramètre appartient à l’ensemble ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[. Le discriminant est déjà calculé, il suffit donc de déterminer les racines à l’aide de la formule.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

À la fin, on a simplifié la fraction par deux. Ce sont donc les racines de l’équation lorsque le paramètre appartient à l’intervalle ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[. Lorsque le paramètre appartient à l’intervalle ]−3 ; 3[, l’équation n’a pas de solution réelle.