Parametrillinen toisen asteen yhtälö

Parametrillinen toisen asteen yhtälö eroaa tavallisesta toisen asteen yhtälöstä siten, että siinä on lisäksi parametri, jota merkitään usein p tai m. Tehtävänä on tällöin selvittää, millainen ratkaisu toisen asteen yhtälöllä on tämän parametrin p arvosta riippuen.

Ensimmäinen esimerkki

Annettuna on seuraava toisen asteen yhtälö, jossa on parametri p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Millaisia erilaisia ratkaisuja yhtälöllä on parametrista p riippuen? Erotellaan yhteensä kolme tapausta – yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, yhtälöllä on kaksi samaa ratkaisua ja yhtälöllä on kaksi eri ratkaisua. Nämä tapaukset erotellaan diskriminantin avulla.

Parametri käyttäytyy kuin vakio, eli edellisessä toisen asteen yhtälössä a = 1, b = 2p ja c = 9. Lasketaan nyt diskriminantti totuttuun tapaan:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Diskriminantiksi tuli siis D = 4p² − 36. Nyt täytyy selvittää, milloin tämä diskriminantti on positiivinen, negatiivinen ja nolla.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta, kun diskriminantti on nolla. Ratkaistavana on siis yhtälö 4p² − 36 = 0. Millä p:n arvoilla tämä pätee? Tämä on vaillinainen toisen asteen yhtälö ja se ratkaistaan helposti:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Jos parametri p on plus tai miinus kolme, toisen asteen yhtälöllä on yksi kaksinkertainen ratkaisu.

Selvitetään nyt, milloin diskriminantti on positiivinen. Ratkaistavana on siis toisen asteen epäyhtälö

$$4p^2-36>0.$$

Funktion f(p) = 4p² − 36 nollakohdat tunnetaan jo, ne laskettiin edellisessä vaiheessa. Niistä muodostetaan kaksi väliä, toinen ”sisempi” ja toinen ”ulompi”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty },-3[\cup ]3,\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3,3[\end{array}$$

Toisella näistä väleistä funktio f(p) on positiivinen, toisella negatiivinen. Sen saa selville sijoittamalla funktioon jonkin pisteen jommaltakummalta väliltä. Yksinkertaisinta on sijoittaa väliltä I₂ nolla. Pätee f(0) = 0 − 36 = −36. Välillä I₂ funktio on siis negatiivinen ja välillä I₁ positiivinen.

Tästä saadaan, että välillä I₁ yhtälöllä on kaksi eri ratkaisua ja välillä I₂ sillä ei ole yhtään reaaliratkaisua. Voit tarkastella funktion f(p) = 4p² − 36 kuvaajaa. Pisteissä plus ja miinus kolme se on nolla, välillä I₂ se on negatiivinen ja välillä I₁ positiivinen.

Yhtälön juurten laskeminen

Nyt on vielä laskettava yhtälön ratkaisut niissä tapauksissa, joissa yhtälöllä on ratkaisu. Aloitetaan tapauksesta, jossa yhtälöllä on yksi kaksinkertainen juuri, eli kun diskriminantti on nolla. Niin käy, kun parametri on plus tai miinus yhdeksän neliöjuuri.

Ensimmäinen tapaus, p = 3. Yhtälö on tällöin muotoa:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Lasketaan tämän yhtälön diskriminantti. Sen pitäisi tulla nolla:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Lasketaan juuri kaavalla:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Toinen tapaus, p = −3. Yhtälö on muotoa:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Lasketaan diskriminantti:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Lasketaan juuri:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Viimeisessä vaiheessa lasketaan vielä, millaiset ratkaisut yhtälöllä on, kun parametri kuuluu joukkoon ]−∞, −3[ ∪ ]3, ∞[. Diskriminantti on jo laskettu, joten yhtälön juuret lasketaan kaavalla.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Lopuksi murtoluku supistettiin kahdella. Nämä ovat siis toisen asteen yhtälön juuret, kun parametri kuuluu joukkoon ]−∞, −3[ ∪ ]3, ∞[. Jos parametri kuuluu välille ]−3, 3[, yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua.