Andregradslikning med parameter

En andregradslikning med parameter skiller seg fra en vanlig andregradslikning ved at den i tillegg inneholder en parameter, ofte kalt p eller m. Oppgaven vår er da å finne ut hvilken løsning andregradslikningen har avhengig av denne parameteren p.

Første eksempel

Vi har følgende andregradslikning med parameteren p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Hvilke ulike løsninger har likningen avhengig av parameteren p? Vi kan skille mellom til sammen tre tilfeller — likningen har ingen løsning i de reelle tallene, likningen har to like løsninger, og likningen har to ulike løsninger. Disse tilfellene skiller vi med hjelp av diskriminanten.

Parameteren oppfører seg som en konstant, altså gjelder for den forrige andregradslikningen at a = 1, b = 2p og c = 9. Nå regner vi ut diskriminanten slik vi er vant til:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Diskriminanten ble altså D = 4p² − 36. Nå må vi finne ut når denne diskriminanten er positiv, negativ og null.

La oss begynne med det enkleste tilfellet, når diskriminanten er null. Vi løser altså likningen 4p² − 36 = 0. For hvilke p gjelder dette? Dette er en ren andregradslikning, og den løses lett:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Hvis parameteren p er lik pluss eller minus tre, har andregradslikningen én dobbel løsning.

Nå løser vi når diskriminanten er positiv. Vi løser altså andregradsulikheten

$$4p^2-36>0.$$

Vi kjenner allerede nullpunktene til funksjonen f(p) = 4p² − 36, det regnet vi ut i forrige trinn. Av dem setter vi sammen to intervaller, ett «indre» og ett «ytre».

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ⟨\leftarrow ,-3⟩\cup ⟨3,\to ⟩\\ I_2& =& ⟨-3,3⟩\end{array}$$

I det ene av disse intervallene er funksjonen f(p) positiv, i det andre negativ. Det finner vi ut ved å sette inn et punkt fra et av intervallene i funksjonen. Det enkleste er å sette inn null fra intervallet I₂. Det gjelder at f(0) = 0 − 36 = −36. I intervallet I₂ er funksjonen altså negativ, i intervallet I₁ er den positiv.

Av dette får vi at i intervallet I₁ har likningen to ulike løsninger, og i intervallet I₂ har den ingen reell løsning. Du kan se på grafen til funksjonen f(p) = 4p² − 36. I punktene pluss og minus tre er den null, i intervallet I₂ er den negativ, og i intervallet I₁ er den positiv.

Utregning av løsningene av likningen

Nå gjenstår det å regne ut løsningene av likningen i de tilfellene der likningen har løsninger. Vi begynner med tilfellet der likningen har én dobbel løsning, altså når diskriminanten er lik null. Det er når parameteren er lik pluss eller minus kvadratroten av ni.

Første tilfelle, p = 3. Likningen har da formen:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Vi regner ut diskriminanten til denne likningen. Den skal bli null:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi regner ut løsningen med formelen:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Andre tilfelle, p = −3. Likningen har formen:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Vi regner ut diskriminanten:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi regner ut løsningen:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

I det siste trinnet regner vi bare ut hvilke løsninger likningen har hvis parameteren er fra mengden ⟨ ← , −3⟩ ∪ ⟨3, → ⟩. Diskriminanten har vi regnet ut, så vi regner ut løsningene av likningen med formelen.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Til slutt forkortet vi brøken med to. Dette er altså løsningene av andregradslikningen hvis parameteren er fra intervallet ⟨ ← , −3⟩ ∪ ⟨3, → ⟩. Hvis parameteren er fra intervallet ⟨ − 3, 3⟩, har likningen ingen reell løsning.