Квадратно уравнение с параметър

Квадратното уравнение с параметър се различава от обикновеното квадратно уравнение по това, че съдържа и параметър, често означаван с p или m. Задачата ни е да установим какво решение има квадратното уравнение в зависимост от този параметър p.

Първи пример

Имаме следното квадратно уравнение с параметър p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Какви различни решения има уравнението в зависимост от параметъра p? Можем да разграничим общо три случая – уравнението няма решение в множеството на реалните числа, уравнението има две равни решения и уравнението има две различни решения. Тези случаи разграничаваме с помощта на дискриминантата.

Параметърът се държи като константа, т.е. за горното квадратно уравнение a = 1, b = 2p и c = 9. Сега пресмятаме дискриминантата както сме свикнали:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Значи дискриминантата ни излезе D = 4p² − 36. Сега трябва да установим кога тази дискриминанта е положителна, отрицателна и нула.

Да започнем с най-простия случай, когато дискриминантата е нула. Всъщност решаваме уравнението 4p² − 36 = 0. За кои стойности на p е изпълнено то? Това е чисто квадратно уравнение и се решава лесно:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Ако параметърът p е равен на плюс или минус три, квадратното уравнение има едно двойно решение.

Сега ще решим кога дискриминантата е положителна. Тоест решаваме квадратното неравенство

$$4p^2-36>0.$$

Вече знаем нулите на функцията f(p) = 4p² − 36, пресметнахме ги в предишната стъпка. От тях съставяме два интервала, единият „вътрешен“, а другият „външен“.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3;3)\end{array}$$

В единия от тези интервали функцията f(p) е положителна, а във втория отрицателна. Установяваме това, като заместим във функцията някоя точка от единия от интервалите. Най-лесно е да заместим нулата от интервала I₂. Имаме f(0) = 0 − 36 = −36. Следователно в интервала I₂ функцията е отрицателна, а в интервала I₁ – положителна.

От това получаваме, че в интервала I₁ уравнението има две различни решения, а в интервала I₂ няма нито едно реално решение. Можеш да разгледаш графиката на функцията f(p) = 4p² − 36. В точките плюс и минус три е нула, в интервала I₂ е отрицателна, а в интервала I₁ е положителна.

Пресмятане на корените на уравнението

Сега остава да пресметнем решенията на уравнението в случаите, когато уравнението има решение. Започваме със случая, когато уравнението има един двоен корен, т.е. когато дискриминантата е равна на нула. Това е, когато параметърът е равен на плюс или минус корен от девет.

Първи случай, p = 3. Уравнението има вида:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Пресмятаме дискриминантата на това уравнение. Трябва да ни излезе нула:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Пресмятаме корена по формулата:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Втори случай, p = −3. Уравнението има вида:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Пресмятаме дискриминантата:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Пресмятаме корена:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Накрая остава да пресметнем какви решения има уравнението, ако параметърът е от множеството (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Дискриминантата вече е пресметната, така че пресмятаме корените на уравнението по формулата.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Накрая съкратихме дробта на 2. Следователно това са корените на квадратното уравнение, ако параметърът е от интервала (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Ако параметърът е от интервала (−3; 3), уравнението няма реално решение.