Equação do 2º grau com parâmetro

Uma equação do 2º grau com parâmetro se diferencia de uma equação do 2º grau normal por conter, além disso, um parâmetro, muitas vezes chamado de p ou m. Nossa tarefa é então descobrir qual solução a equação do 2º grau tem em função desse parâmetro p.

Primeiro exemplo

Temos a seguinte equação do 2º grau com parâmetro p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Quais soluções diferentes a equação tem em função do parâmetro p? Podemos distinguir três casos: a equação não tem solução no conjunto dos números reais, a equação tem duas soluções iguais e a equação tem duas soluções distintas. Distinguimos esses casos com o discriminante.

O parâmetro se comporta como uma constante, isto é, para a equação do 2º grau anterior vale a = 1, b = 2p e c = 9. Agora calculamos o discriminante da maneira a que estamos acostumados:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Então o discriminante deu Δ= 4p² − 36. Agora precisamos descobrir quando esse discriminante é positivo, negativo e nulo.

Comecemos pelo caso mais simples, quando o discriminante é nulo. Resolvemos, portanto, a equação 4p² − 36 = 0. Para quais p isso vale? Essa é uma equação do 2º grau incompleta e se resolve facilmente:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Se o parâmetro p é igual a mais ou menos três, a equação do 2º grau tem uma raiz dupla.

Agora resolvemos quando o discriminante é positivo. Resolvemos, portanto, a inequação do 2º grau

$$4p^2-36>0.$$

Já conhecemos os zeros da função f(p) = 4p² − 36: nós os calculamos no passo anterior. Com eles montamos dois intervalos, um “interno” e outro “externo”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty },-3[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3,3[\end{array}$$

Em um desses intervalos a função f(p) é positiva e no outro é negativa. Descobrimos isso substituindo na função algum ponto de um dos intervalos. O mais simples é substituir zero, do intervalo I₂. Vale que f(0) = 0 − 36 = −36. No intervalo I₂ a função é, portanto, negativa e, no intervalo I₁, é positiva.

Disso concluímos que, no intervalo I₁, a equação tem duas soluções distintas e, no intervalo I₂, não tem nenhuma solução real. Você pode observar o gráfico da função f(p) = 4p² − 36. Nos pontos mais e menos três ela é nula, no intervalo I₂ é negativa e no intervalo I₁ é positiva.

Cálculo das raízes da equação

Agora nos resta calcular a solução da equação nos casos em que ela tem solução. Começamos pelo caso em que a equação tem uma raiz dupla, isto é, quando o discriminante é igual a zero. Isso ocorre quando o parâmetro é igual a mais ou menos a raiz quadrada de nove.

Primeiro caso, p = 3. A equação tem então a forma:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Calculamos o discriminante dessa equação. Deve dar zero:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculamos a raiz pela fórmula:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Segundo caso, p = −3. A equação tem a forma:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Calculamos o discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculamos a raiz:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

No último passo calculamos apenas quais soluções a equação tem se o parâmetro pertence ao conjunto ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[. O discriminante já está calculado, então calculamos as raízes da equação pela fórmula.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

No final simplificamos a fração por dois. Essas são, portanto, as raízes da equação do 2º grau se o parâmetro pertence ao intervalo ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[. Se o parâmetro pertence ao intervalo ]−3, 3[, a equação não tem solução real.