判別式

判別式は、一般の2次方程式の解を計算したり、方程式に解があるかどうか、解がいくつあるかを調べたりするのに使う式です。

公式と基本的な関係

まず、2次方程式の基本の形を復習しましょう。

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

ここで a、b、c は実数です。判別式を D で表すと、次のように計算します。

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

例として、2次方程式 3x² + 5x − 7 = 0 を考えます。この方程式では a = 3, b = 5, c = −7 です。判別式は次のように計算します。

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

結果は109です。この数から何がわかるでしょうか。判別式が……

正なら、方程式は異なる2つの実数解をもちます。
0なら、方程式は重解（等しい2つの実数解）をもちます。
負なら、方程式は実数の範囲では解をもちません。ただし、複素数の範囲では解をもちます（異なる2つの虚数解）。

2次方程式の解の求め方

判別式を使うと、2次方程式の解を直接計算できます。解の公式は次のとおりです。

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

ここで D は判別式です。判別式を書き出すと、公式全体は次のようになります。

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

この公式を使って、2次方程式 x² + 7x + 12 = 0 の解を計算してみましょう。まず判別式を計算します。

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

判別式は正なので、方程式は異なる2つの実数解をもちます。1つ目の解を計算しましょう。1つ目では判別式の平方根を足し、2つ目では平方根を引きます。

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

1つ目の解は −3 になりました。2つ目の解は、平方根を引いて計算します。

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

これで方程式の2つの解 x₁ = −3 と x₂ = −4 が求まりました。

この手順を使いこなすには、a、b、c の値を正しく読み取れることが欠かせません。正しい読み取り方は、2次方程式の記事で説明しています。

では、この解はグラフではどう表れるでしょうか。方程式の左辺の関数のグラフをかくと、この2次関数のグラフは x 軸と2点、つまり x₁ = −3 と x₂ = −4 で交わっています。

関数 y=x^2+7x+12 のグラフ

判別式が0の場合

判別式が0になるときは、方程式に解はありますが、1つだけです。正確には、解は2つですが、その2つが等しいということです。例として、方程式 x² − 10x + 25 = 0 を解いてみましょう。判別式を計算します。

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

解は前の節と同じく公式で計算します。ただし判別式が0なので、公式からプラスマイナス $\sqrt{D}$ の部分が消えます。0を足したり引いたりすることになるからです。

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

重解 x = 5 が得られました。これはグラフでは何を意味するでしょうか。この関数のグラフが、ちょうど1点、つまり頂点で x 軸に接するということです。

関数 y=x^2-10x+25 のグラフ

判別式が負の場合

判別式が負になるとき、2次方程式は実数の範囲では解をもちません。複素数の範囲で解くことはできますが、それは別の記事で扱います。例として、2次方程式 x² + x + 1 = 0 を解いてみましょう。判別式は次のとおりです。

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

したがって、この2次方程式は実数の範囲では解をもちません。実際に試してみましょう。多項式 x² + x + 1 は、どんな実数に対しても正になります。たとえば x に1を代入すると 1 + 1 + 1 = 3、x = −1 なら 1 − 1 + 1 = 1、x = 0 なら 0 + 0 + 1 = 1 です。ほかの数でも同じです。関数 y = x² + x + 1 のグラフを見ても、x 軸と交わることはありません。

関数 y=x^2+x+1 のグラフ

解と係数の関係

2次方程式の解の求め方はわかりました。では、2つの解の間にはどんな関係があるでしょうか。2つの解 x₁ と x₂ を足してみましょう。

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解を足すと、商 −b/a が得られます。では、解をかけるとどうなるでしょうか。

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

解をかけると、数 c/a が得られます。これが解と係数の関係です。もう一度まとめておきます。

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

分数の分母がいつも a であることに注目しましょう。特別な場合として、a = 1 の2次方程式があります。このとき、解と係数の関係は次のように書けます。

$\begin{array}{rcl} a = 1 のとき : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

これは2次方程式の解を求めるときに使えます。わざわざ判別式を計算する代わりに、上の関係を満たす数 x₁ と x₂ が見つかるか考えてみるのです。例として、方程式 x² + 8x + 15 = 0 の解を求めてみましょう。a = 1 なので、簡単な形の解と係数の関係が使えます。次の式を満たす数 x₁ と x₂ を探します。

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

整数に限ると、かけて15になる組は全部で4通りです。

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

次に、左辺の2つの数の和が −8 になる必要があります。そのような和になる組はただ1つ、−3 と −5 です。したがって、この2つの数が2次方程式の解です。方程式に代入して確かめてみましょう。0になるはずです。

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

合っています。解がわかっていれば、方程式をもっと見やすい形に書くこともできます。x₁ と x₂ が方程式 ax² + bx + c = 0 の解で、a = 1 なら、方程式は次の形に書きかえられます。

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

したがって、先ほどの方程式は次の形に書きかえられます。

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

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