Kwadratische vergelijking met een parameter

Een kwadratische vergelijking met een parameter verschilt van een gewone kwadratische vergelijking doordat ze er een parameter bij heeft, vaak aangeduid als p of m. Onze taak is dan uit te zoeken welke oplossingen de kwadratische vergelijking heeft afhankelijk van deze parameter p.

Eerste voorbeeld

We hebben de volgende kwadratische vergelijking met een parameter p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Welke verschillende oplossingen heeft de vergelijking afhankelijk van de parameter p? We kunnen in totaal drie gevallen onderscheiden: de vergelijking heeft geen oplossing in de reële getallen, de vergelijking heeft twee gelijke oplossingen en de vergelijking heeft twee verschillende oplossingen. Deze gevallen onderscheiden we met de discriminant.

De parameter gedraagt zich als een constante, dus voor de vorige kwadratische vergelijking geldt a = 1, b = 2p en c = 9. Nu berekenen we de discriminant zoals we gewend zijn:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

De discriminant is dus D = 4p² − 36. Nu moeten we uitzoeken wanneer deze discriminant positief, negatief en nul is.

We beginnen met het eenvoudigste geval, als de discriminant nul is. We lossen dus de vergelijking 4p² − 36 = 0 op. Voor welke p geldt dit? Dit is een zuiver kwadratische vergelijking en die los je gemakkelijk op:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Als de parameter p gelijk is aan plus of min drie, heeft de kwadratische vergelijking één dubbele oplossing.

Nu zoeken we uit wanneer de discriminant positief is. We lossen dus de kwadratische ongelijkheid op

$$4p^2-36>0.$$

We kennen de nulpunten van de functie f(p) = 4p² − 36 al, die hebben we in de vorige stap berekend. Daaruit stellen we twee intervallen samen, een “binnenste” en een “buitenste”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ⟨\leftarrow ,-3⟩\cup ⟨3,\to ⟩\\ I_2& =& ⟨-3,3⟩\end{array}$$

In een van deze intervallen is de functie f(p) positief, in het andere negatief. Dat zoeken we uit door een punt uit een van de intervallen in de functie in te vullen. Het eenvoudigst is om uit het interval I₂ nul in te vullen. Er geldt f(0) = 0 − 36 = −36. In het interval I₂ is de functie dus negatief, in het interval I₁ is ze positief.

Hieruit volgt dat de vergelijking in het interval I₁ twee verschillende oplossingen heeft en in het interval I₂ geen enkele reële oplossing. Je kunt de grafiek van de functie f(p) = 4p² − 36 bekijken. In de punten plus en min drie is ze nul, in het interval I₂ is ze negatief en in het interval I₁ is ze positief.

De oplossingen van de vergelijking berekenen

Nu moeten we nog de oplossingen van de vergelijking berekenen in de gevallen waarin de vergelijking oplossingen heeft. We beginnen met het geval waarin de vergelijking één dubbele oplossing heeft, dus als de discriminant gelijk is aan nul. Dat is het geval als de parameter gelijk is aan plus of min de wortel uit negen.

Eerste geval, p = 3. De vergelijking heeft dan de vorm:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

We berekenen de discriminant van deze vergelijking. Er zou nul uit moeten komen:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

We berekenen de oplossing met de formule:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Tweede geval, p = −3. De vergelijking heeft de vorm:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

We berekenen de discriminant:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

We berekenen de oplossing:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

In de laatste stap berekenen we nog welke oplossingen de vergelijking heeft als de parameter uit de verzameling ⟨ ← , −3⟩ ∪ ⟨3, → ⟩ komt. De discriminant hebben we berekend, dus we berekenen de oplossingen van de vergelijking met de formule.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Aan het eind hebben we de breuk door twee vereenvoudigd. Dit zijn dus de oplossingen van de kwadratische vergelijking als de parameter uit het interval ⟨ ← , −3⟩ ∪ ⟨3, → ⟩ komt. Als de parameter uit het interval ⟨ − 3, 3⟩ komt, heeft de vergelijking geen reële oplossing.