Az egyenletek ekvivalens átalakításai

Az egyenletek átalakításakor ekvivalens átalakításokat használunk, amelyekre jellemző, hogy nem változtatják meg az egyenlet érvényességét. Az ekvivalens átalakítások célja, hogy az egyenletet egyszerűbb alakra hozzuk, amelyből már kiszámíthatjuk az eredményt.

Mi az az egyenlet

Először röviden arról, mi az az egyenlet, és hogyan fogjuk felírni. Ha adott két függvény, f(x) és g(x), akkor egyenlőségbe állíthatjuk őket, és egyenletet kapunk:

$f (x) = g (x)$

Ebben az esetben az f(x) függvényt az egyenlet bal oldalának, a g(x) függvényt a jobb oldalának nevezzük. Az elvont f(x) és g(x) függvények helyett elképzelhetünk konkrét függvényeket, például f(x) = 3x és g(x) = x + 2. Ekkor az egyenlet így néz ki:

$3 x = x + 2$

Az egyenlet megoldása ekkor egy halmaz, jelöljük például S-sel, amelyre igaz, hogy az S halmaz bármely x elemét behelyettesítve az egyenlet továbbra is teljesül. A mintaegyenlet megoldása tehát az

$S = {1}$

halmaz. Az egyenletbe behelyettesítve ezt kapjuk:

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Az egyenlet ekvivalens átalakítása olyan átalakítás, amely nem változtatja meg az egyenlet érvényességét. Vagyis ekvivalens átalakítás az, amikor az f(x) függvényből megkapjuk az f₁(x) függvényt, ugyanezzel az átalakítással a g(x) függvényből a g₁(x) függvényt, és az egyenlőség ennek ellenére továbbra is fennáll:

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

Az első és legegyszerűbb ekvivalens átalakítás (egyenleteknél, egyenlőtlenségeknél viszont nem!) a bal és a jobb oldal felcserélése. Az nyilvánvaló, hogy ha igaz, hogy

$f (x) = g (x),$

akkor a felcserélt egyenlőség is igaz:

$g (x) = f (x) .$

Az egyenletekkel bővebben a Mi az az egyenlet cikkben foglalkozom.

Hozzáadás

A legegyszerűbb példa, amikor valamilyen kifejezést hozzáadunk az egyenlet mindkét oldalához. Az ekvivalens átalakítást mindig az egyenlet mindkét oldalán elvégezzük. Legyen tehát ez az egyenlet:

$x - 3 = 1.$

Ezt az egyenletet úgy oldhatjuk meg, hogy mindkét oldalhoz hozzáadunk hármat. Az egyenletek átalakításakor az adott műveletet általában a sor végére, perjel után írjuk, abba a sorba, amelyből az átalakítást kezdtük, így:

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

Általánosan felírhatjuk, hogy ha ismét adott két függvény, f(x) és g(x), hozzáadhatunk mindkettőhöz egy harmadik, h(x) függvényt, és az egyenlet érvényessége nem változik.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Mint látható, nemcsak számot adhatunk hozzá, hanem függvényt is:

$x = 2 x + 6$

Megszokás szerint a változókat a bal oldalon szeretnénk látni, ezt úgy érjük el, hogy az egyenlethez hozzáadjuk a −2x kifejezést, azaz kivonjuk belőle a 2x tagot.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Természetesen törteket is hozzáadhatunk, ha éppen az jön jól.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Hozzáadunk egy felet, és megvan az eredmény:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Az egyenlethez való hozzáadást klasszikusan akkor használod, amikor egy kifejezést az egyenlet egyik oldaláról „át akarsz vinni” a másikra. Ha ez az egyenleted:

$3 = 2 x + 17,$

hogyan hozod át a változós kifejezést, azaz a 2x tagot a bal oldalra? Egyszerűen az egész egyenlethez hozzáadod a −2x kifejezést. Ezzel a jobb oldalon a 2x helyén nulla lesz, mert 2x − 2x = 0. A másik oldalon pedig −2x keletkezik:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Szorzás

Az egyenletet valamilyen függvénnyel meg is szorozhatjuk. Az egyetlen feltétel, hogy ez a függvény nem lehet nulla. Az egyenletet nem szorozhatjuk meg nullával, de olyan függvénnyel sem, amely nullára egyszerűsíthető, például az f(x) = x − x függvénnyel. Ha tehát ez az egyenletünk:

$3 x = 7,$

megszorozhatjuk kettővel:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Ennek így sok értelme nem volt. A szorzást például akkor használjuk, amikor meg kell szabadulnunk a törtektől:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Ha ezt az egyenletet megszorozzuk a jobb oldali tört nevezőjével, az 5x kifejezés a törtek tulajdonságai miatt szépen kiesik.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Most megszorozzuk a törtet az 5x kifejezéssel, amitől az 5x a tört számlálójába kerül, és utána az 5x kifejezéssel egyszerűsíthetünk, mert szerepel a nevezőben is és a számlálóban is.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

A rész elején azt mondtam, hogy nullával nem szorozhatunk. Most az 5x kifejezéssel szoroztunk – csakhogy ez a kifejezés változót tartalmaz, és ha ebbe a változóba nullát helyettesítünk, az egész kifejezés nulla lesz, és máris nullával szorzunk. Mit kezdjünk ezzel?

Úgy oldjuk meg, hogy meghatározzuk azokat a feltételeket, amelyek mellett ezt az átalakítást elvégezhetjük. Most tehát ki kell kötnünk, hogy az 5x kifejezéssel csak akkor szorozhatunk, ha az x nem nulla. De nézzük meg még az egyenletet, amelyet szoroztunk. Az 5x kifejezés már benne van, mégpedig a tört nevezőjében. Ez mit jelent? Nullával nem oszthatunk, tehát már a $\frac{2}{5 x}$ függvény értelmezési tartománya kizárja, hogy az x nulla legyen.

Még egyszer tehát: az egyenletben van egy tört, amelynek nevezőjében az 5x áll. Mivel nullával nem oszthatunk, az egyenletnek csak akkor van értelme, ha az x nem nulla. Ezért az egész egyenletet gond nélkül megszorozhatjuk az 5x kifejezéssel, hiszen a szükséges kikötést már a nevezőben álló függvény értelmezési tartománya megadja.

Szorzás bonyolultabb kifejezésekkel

Most egy fontos megjegyzés: ha az egyenletet valamilyen kifejezéssel szorozzuk, mindig a teljes jobb oldalt és a teljes bal oldalt kell szoroznunk. Példaként nézzük ezt az egyenletet:

$x + 2 = x - 4$

Ha meg akarnánk szorozni kettővel, az egész oldalakat kellene szoroznunk, így:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Hiba lenne kihagyni a zárójeleket, mert hibás eredményt kapnánk:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Látod, hogy az eredmény más, mint az előző esetben. Hasonlóképpen, ha bonyolultabb kifejezéssel szorzol, az egész egyenletet szorozni kell. Példaként vegyük az

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3}$

egyenletet. Megszorozzuk az x + 3 kifejezéssel, hogy megszabaduljunk a jobb oldali nevezőben álló változótól.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

A tört most olyan alakú, hogy szépen egyszerűsíthetjük az x + 3 kifejezéssel:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Most még felbonthatjuk a zárójelet a bal oldalon, végül kivonhatjuk a kettőt, hogy a kettőt „átvigyük” a bal oldalra, és a jobb oldalon nulla legyen.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Osztás

Ahogy az egyenletet szorozhatjuk, osztani is lehet. Ugyanazzal a megszorítással, mint a szorzásnál: nullával nem oszthatunk. Az osztás ugyanis egyszerűen szorzássá alakítható. Ha az egyenletet el akarjuk osztani a w kifejezéssel, az ugyanaz, mintha megszoroznánk az 1/w törttel. Az osztást gyakran használjuk például ilyen feladatokban:

$12 x = 7$

Ez olyan egyenlet, amellyel sokat nem tudunk kezdeni, legfeljebb az egész egyenletet elosztjuk tizenkettővel, és így megkapjuk az x értékét.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Ugyanezt az eredményt kapnánk, ha az egyenletet megszoroznánk az 1/12 törttel:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Hatványozás

Az egyenletek átalakításakor hatványokat is használhatunk, de bizonyos megszorításokkal. Először frissítsük fel a hatványokról tanultakat. Igaz ez az egyenlőség?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Ha egy számot négyzetre emelünk, majd négyzetgyököt vonunk, visszakapjuk az eredeti számot? Ez alattomos kérdés, és a válasz az, hogy nem mindig. Képzeld el, hogy az x helyére negatív számot helyettesítesz, például mínusz hármat:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Mint látható, az egyenlőség hirtelen nem teljesül, mert ha egy negatív számot négyzetre emelünk, pozitív számot kapunk. De ha egy pozitív számból négyzetgyököt vonunk, megint pozitív számot kapunk. Mikor teljesülne ez az egyenlőség? Akkor, ha tudjuk, hogy csak pozitív, illetve nemnegatív számokkal dolgozunk. Az egyenletet tehát akkor emelhetjük négyzetre, ha tudjuk, hogy pozitív számokkal dolgozunk.

Például a geometriában gyakran oldunk meg olyan egyenleteket, amelyekben szakaszok hosszai szerepelnek, és ilyenkor aggodalom nélkül hatványozhatunk, mert egy hosszúság nem lehet negatív. A hatványozásnál és a gyökvonásnál is érvényes, hogy az egész egyenletet kell hatványozni. Lássunk egy példát:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Tegyük fel, hogy csak pozitív számok között mozgunk, ezért megengedhetjük magunknak, hogy az egész egyenletet négyzetre emeljük:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Másodfokú egyenletet kaptunk, amelyet a cikkben leírt módszerekkel oldhatunk meg.

Hogyan oldanánk meg azt az egyenletet, amelyet négyzetre kell emelni, de nem lehetünk biztosak benne, hogy csak pozitív számok között mozgunk? Egyszerűen négyzetre emeljük, utána pedig ellenőrzést végzünk, mert a hatványozással olyan eredményeket is kaphatunk, amelyek nem megoldásai az egyenletnek. Lássunk egy példát:

$\sqrt{x} = x - 2$

Az egyenletet most négyzetre emeljük:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Ismét másodfokú egyenletet kapunk, ezért valamilyen alkalmas módszerrel megoldjuk, például szorzattá alakítással (a pontos eljárás a hivatkozott cikkben van):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Látjuk, hogy az egyik eredmény 1, a másik 4. Azt viszont tudjuk, hogy nem ekvivalens átalakítást végeztünk, ezért még el kell végeznünk az ellenőrzést. Behelyettesítjük ezeket a megoldásokat az eredeti egyenletbe, és megnézzük, melyik az eredeti egyenlet érvényes megoldása. Először az egyet helyettesítjük be:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Az ellenőrzés kimutatta, hogy az egy nem megoldása az eredeti egyenletnek. És a négy?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

A négy megoldása az eredeti egyenletnek, megtaláltuk az eredményt.

Fejezetek: Egyenletek átalakítása, Egyenlőtlenségek átalakítása

« Előző: Mi az az egyenlet

Következő: Egyenlőtlenségek átalakítása »