Principi di equivalenza delle equazioni

Quando trasformiamo le equazioni usiamo i principi di equivalenza, che si distinguono perché non cambiano la validità dell’equazione. Lo scopo dei principi di equivalenza è portare l’equazione in una forma più semplice, dalla quale possiamo già calcolare il risultato.

Che cos’è un’equazione

Prima un breve richiamo su che cos’è un’equazione e come la scriveremo. Se abbiamo due funzioni f(x) e g(x), possiamo porle uguali e ottenere un’equazione:

$f (x) = g (x)$

In questo caso chiamiamo f(x) primo membro dell’equazione e g(x) secondo membro. Al posto delle funzioni astratte f(x) e g(x) possiamo immaginare funzioni concrete, per esempio f(x) = 3x e g(x) = x + 2. Allora l’equazione sarebbe così:

$3 x = x + 2$

La soluzione dell’equazione è quindi un insieme (per esempio) S, tale che per ogni x dell’insieme S, sostituendolo nell’equazione, l’equazione continua a valere. La soluzione dell’equazione di esempio sarebbe quindi l’insieme

$S = {1} .$

Sostituendo nell’equazione otteniamo

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Una trasformazione equivalente di un’equazione è quindi una trasformazione che non cambia la validità dell’equazione. Sarebbe dunque una trasformazione equivalente quella in cui dalla funzione f(x) otteniamo la funzione f₁(x) e con la stessa trasformazione dalla funzione g(x) otteniamo g₁(x), e nonostante ciò vale ancora l’uguaglianza

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

Il primo e più semplice principio di equivalenza per le equazioni (non per le disequazioni!) è lo scambio del primo e del secondo membro. È chiaro che se vale

$f (x) = g (x),$

varrà anche lo scambio

$g (x) = f (x) .$

Alle equazioni mi dedico più a fondo nell’articolo Che cos’è un’equazione.

Addizione

L’esempio più semplice è sommare un’espressione a entrambi i membri dell’equazione. Un principio di equivalenza lo applichiamo sempre a entrambi i membri dell’equazione. Prendiamo quindi questa equazione:

$x - 3 = 1.$

Questa equazione possiamo risolverla sommando il numero tre a entrambi i membri. Nelle trasformazioni delle equazioni di solito scriviamo l’operazione dopo la barra, nella riga da cui siamo partiti, così

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

In generale possiamo scrivere che, se abbiamo di nuovo due funzioni f(x) e g(x), possiamo sommare a entrambe una terza funzione h(x) senza cambiare la validità dell’equazione.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Come vedi, non dobbiamo sommare solo un numero, possiamo sommare anche una funzione:

$x = 2 x + 6$

Per abitudine vogliamo avere le variabili a sinistra, e lo otteniamo sommando all’equazione −2x, ovvero sottraendo 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Naturalmente possiamo sommare anche frazioni, se ci fa comodo.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Sommiamo un mezzo e abbiamo il risultato:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

L’addizione a un’equazione la usi tipicamente quando vuoi «spostare» un’espressione da un membro all’altro dell’equazione. Se hai l’equazione

$3 = 2 x + 17,$

come porti l’espressione con la variabile, cioè 2x, nel primo membro? Semplicemente sommi a tutta l’equazione −2x. Così nel secondo membro, al posto di 2x, ottieni zero, perché 2x − 2x = 0. E dall’altra parte otteniamo −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Moltiplicazione

L’equazione possiamo anche moltiplicarla per una funzione. L’unica condizione è che quella funzione non sia nulla. Non possiamo moltiplicare l’equazione per zero, e nemmeno per una funzione che si possa ricondurre a zero, per esempio f(x) = x − x. Quindi se abbiamo l’equazione

$3 x = 7,$

possiamo moltiplicarla per due:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Questo non aveva molto senso; la moltiplicazione si usa per esempio quando bisogna eliminare le frazioni:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Se moltiplichiamo questa equazione per il denominatore della frazione del secondo membro, l’espressione 5x si semplifica benissimo grazie alle proprietà delle frazioni.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Ora moltiplichiamo la frazione per l’espressione 5x, così 5x finisce al numeratore della frazione e subito dopo possiamo semplificare l’espressione 5x, perché l’abbiamo sia al denominatore sia al numeratore.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

All’inizio di questa parte ho detto che non dobbiamo moltiplicare per zero. Ora abbiamo moltiplicato per l’espressione 5x – ma questa espressione contiene una variabile e, se in questa variabile sostituiamo zero, viene zero anche l’intera espressione e, guarda un po’, stiamo già moltiplicando per zero. Che fare?

Si risolve determinando le condizioni in cui possiamo eseguire questa trasformazione. In questo momento dobbiamo quindi scrivere che possiamo moltiplicare per 5x solo supponendo che x sia diverso da zero. Ma ora guardiamo ancora l’equazione che abbiamo moltiplicato. L’espressione 5x è già contenuta lì ed è al denominatore della frazione. Che cosa significa? Non possiamo dividere per zero, quindi già il dominio della funzione $\frac{2}{5 x}$ esclude che x sia uguale a zero.

Ripetiamo ancora una volta: l’equazione contiene una frazione con l’espressione 5x al denominatore. Poiché non possiamo dividere per zero, l’equazione ha senso solo supponendo che x sia diverso da zero. Perciò possiamo moltiplicare senza preoccupazioni tutta l’equazione per 5x, perché le condizioni necessarie ce le garantisce già il dominio della funzione al denominatore.

Moltiplicazione per espressioni più complicate

Ora un’osservazione importante: se moltiplichiamo l’equazione per un’espressione, dobbiamo sempre moltiplicare tutto il secondo membro e tutto il primo membro. Come esempio prendiamo questa equazione:

$x + 2 = x - 4$

Se volessimo moltiplicarla per due, dovremmo moltiplicare i membri per intero, così:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Sarebbe un errore non scrivere quelle parentesi, perché otterremmo un risultato sbagliato:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Vedi che il risultato è diverso da quello del caso precedente. Allo stesso modo, se moltiplichi per un’espressione più complicata, devi moltiplicare tutta l’equazione. Come esempio prendiamo l’equazione

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Moltiplichiamo questa equazione per l’espressione x + 3, per eliminare la variabile al denominatore nel secondo membro.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

Abbiamo la frazione in una forma in cui possiamo semplificarla benissimo per l’espressione x + 3:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Ora possiamo ancora sviluppare il prodotto nel primo membro e infine sottrarre due, per «spostare» il due nel primo membro, ottenendo così zero nel secondo.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Divisione

Così come possiamo moltiplicare l’equazione, possiamo anche dividerla. Con la stessa limitazione del caso della moltiplicazione: non dobbiamo dividere per zero. La divisione infatti si trasforma facilmente in moltiplicazione. Se vogliamo dividere l’equazione per l’espressione w, è come se moltiplicassimo l’equazione per la frazione 1/w. La divisione si usa spesso in esempi come questo:

$12 x = 7$

Questo è un tipo di equazione con cui non possiamo fare molto altro: possiamo solo dividere tutta l’equazione per dodici, e così otteniamo il valore di x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Lo stesso risultato otterremmo moltiplicando l’equazione per 1/12:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Elevamento a potenza

Nelle trasformazioni delle equazioni possiamo usare anche le potenze, ma con alcune limitazioni. Prima rinfreschiamo le conoscenze sulle potenze. Vale questa uguaglianza?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Se elevi un numero al quadrato e subito dopo estrai la radice quadrata, ottieni di nuovo il numero iniziale? Questa è una domanda insidiosa e la risposta è che non sempre. Immagina di sostituire a x un numero negativo, per esempio meno tre:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Come vedi, l’uguaglianza improvvisamente non vale, perché elevando al quadrato un numero negativo otteniamo un numero positivo. Ma se poi estraiamo la radice di un numero positivo, otteniamo di nuovo un numero positivo. Quando varrebbe questa uguaglianza? Quando sappiamo che lavoriamo solo con numeri positivi o, meglio, non negativi. L’equazione possiamo quindi permetterci di elevarla al quadrato nel caso in cui sappiamo che lavoriamo con numeri positivi.

Per esempio nella geometria risolviamo spesso equazioni che contengono lunghezze di segmenti e in questo caso possiamo elevare a potenza senza preoccupazioni, perché una lunghezza come tale non può essere negativa. Anche elevando a potenza o estraendo la radice vale la regola che dobbiamo operare su tutta l’equazione. Ecco un esempio:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Supponiamo di lavorare solo con numeri positivi, perciò possiamo permetterci di elevare al quadrato tutta l’equazione:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado, che possiamo risolvere con i metodi descritti nell’articolo.

Come si risolverebbe un’equazione che devi elevare al quadrato, ma non puoi essere sicuro di lavorare solo con numeri positivi? Semplicemente la elevi al quadrato e poi fai la verifica, perché con l’elevamento a potenza puoi ottenere risultati che non sono soluzioni dell’equazione. Ecco un esempio:

$\sqrt{x} = x - 2$

Ora eleviamo l’equazione al quadrato:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Otteniamo di nuovo un’equazione di secondo grado, quindi la risolviamo con una tecnica adatta, per esempio con la scomposizione (il procedimento esatto è nell’articolo collegato):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Vediamo che una soluzione è 1 e l’altra 4. Però sappiamo che abbiamo eseguito una trasformazione non equivalente, quindi dobbiamo ancora fare la verifica. Sostituiamo queste soluzioni nell’equazione iniziale e scopriamo quale di esse è una soluzione valida dell’equazione iniziale. Prima sostituiamo uno:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Con la verifica abbiamo scoperto che uno non è una soluzione dell’equazione iniziale. E quattro?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Quattro è una soluzione dell’equazione iniziale, abbiamo trovato il risultato.

Capitoli: Principi di equivalenza delle equazioni, Principi di equivalenza delle disequazioni

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