Yhtälön yhtäpitävät muunnokset

Yhtälöitä muokatessa käytetään yhtäpitäviä muunnoksia, joille on ominaista, etteivät ne muuta yhtälön ratkaisuja. Yhtäpitävien muunnosten tarkoituksena on saattaa yhtälö yksinkertaisempaan muotoon, josta yhtälön tulos voidaan jo laskea.

Mikä on yhtälö

Aluksi lyhyesti siitä, mikä yhtälö on ja miten sitä merkitään. Jos on kaksi funktiota f(x) ja g(x), ne voidaan asettaa yhtä suuriksi, jolloin saadaan yhtälö:

$$f(x)=g(x)$$

Tässä tapauksessa f(x):ää kutsutaan yhtälön vasemmaksi puoleksi ja g(x):ää oikeaksi puoleksi. Abstraktien funktioiden f(x) ja g(x) tilalle voi kuvitella konkreettiset funktiot, esimerkiksi f(x) = 3x ja g(x) = x + 2. Yhtälö näyttäisi tällöin tältä:

$$3x=x+2$$

Yhtälön ratkaisu on tällöin joukko (esimerkiksi) S, ja jokaiselle joukon S alkiolle x pätee, että kun se sijoitetaan yhtälöön, yhtälö on edelleen tosi. Esimerkkiyhtälön ratkaisu olisi siis joukko

$$S=\left\{1\right\}.$$

Sijoittamalla yhtälöön saadaan

$$3\cdot 1=1+2$$

Yhtälön yhtäpitävä muunnos on sellainen muunnos, joka ei muuta yhtälön ratkaisuja. Yhtäpitävä muunnos olisi siis sellainen, jossa funktiosta f(x) saadaan funktio f₁(x) ja samalla muunnoksella funktiosta g(x) saadaan g₁(x) ja silti yhä pätee yhtäsuuruus

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Ensimmäinen ja yksinkertaisin yhtälön yhtäpitävä muunnos (ei epäyhtälön!) on vasemman ja oikean puolen vaihtaminen keskenään. On varmaan selvää, että jos pätee

$$f(x)=g(x),$$

niin pätee myös puolet vaihdettuina

$$g(x)=f(x).$$

Yhtälöistä kerron enemmän artikkelissa Mikä on yhtälö.

Yhteenlasku

Yksinkertaisin esimerkki on jonkin lausekkeen lisääminen yhtälön molemmille puolille. Yhtäpitävä muunnos tehdään aina yhtälön molemmille puolille. Olkoon siis annettu yhtälö:

$$x-3=1.$$

Tämän yhtälön voi ratkaista lisäämällä molemmille puolille luvun kolme. Yhtälöitä muokattaessa muunnos merkitään yleensä vinoviivan jälkeen sille riville, jolla muunnos aloitettiin, seuraavasti

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Yleisesti voidaan kirjoittaa, että kun on jälleen kaksi funktiota f(x) ja g(x), niihin voi lisätä kolmannen funktion h(x) muuttamatta yhtälön ratkaisuja.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Kuten näkyy, lisätä ei tarvitse vain lukua, vaan lisätä voi myös funktion:

$$x=2x+6$$

Tavan mukaan halutaan muuttujat vasemmalle puolelle, minkä saa aikaan lisäämällä yhtälöön −2x eli vähentämällä 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Lisätä voi tietenkin myös murtolukuja, jos se sopii tilanteeseen.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Lisätään puolikas, ja tulos on valmis:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Yhtälöön lisäämistä käytetään tavallisesti silloin, kun lauseke halutaan ”siirtää” yhtälön yhdeltä puolelta toiselle. Jos on yhtälö

$$3=2x+17,$$

miten muuttujan sisältävä lauseke 2x saadaan yhtälön vasemmalle puolelle? Yksinkertaisesti lisäämällä koko yhtälöön −2x. Näin oikealle puolelle jää 2x:n tilalle nolla, koska 2x − 2x = 0. Toiselle puolelle saadaan −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Kertominen

Yhtälön voi myös kertoa jollakin funktiolla. Ainoa ehto on, että funktio ei saa olla nolla. Yhtälöä ei voi kertoa nollalla, eikä myöskään funktiolla, jonka voi sieventää nollaksi, esimerkiksi f(x) = x − x. Jos siis on yhtälö

$$3x=7,$$

sen voi kertoa kahdella:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Tässä ei ollut kovin paljon järkeä. Kertomista käytetään esimerkiksi silloin, kun murtoluvuista halutaan päästä eroon:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Jos tämä yhtälö kerrotaan oikean puolen murtoluvun nimittäjällä, lauseke 5x supistuu kauniisti murtolukujen ominaisuuksien ansiosta.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Nyt kerrotaan murtoluku lausekkeella 5x, jolloin 5x siirtyy murtoluvun osoittajaan, ja sen jälkeen lauseke 5x voidaan supistaa, koska se on sekä nimittäjässä että osoittajassa.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Tämän luvun alussa sanoin, ettei nollalla saa kertoa. Nyt kerrottiin lausekkeella 5x — mutta tämä lauseke sisältää muuttujan, ja jos muuttujan paikalle sijoitetaan nolla, koko lauseke on nolla, ja kas, jo kerrotaankin nollalla. Mitä tälle tehdään?

Asia hoidetaan määrittämällä ehdot, joilla tämän muunnoksen saa tehdä. Tässä vaiheessa täytyy siis kirjoittaa, että 5x:llä saa kertoa vain olettaen, että x on erisuuri kuin nolla. Katsotaan kuitenkin vielä yhtälöä, jota kerrottiin. Lauseke 5x on siinä jo mukana murtoluvun nimittäjässä. Mitä se tarkoittaa? Nollalla ei voi jakaa, joten jo funktion $\frac{2}{5x}$ määrittelyjoukko sulkee pois sen, että x olisi nolla.

Vielä kerran siis — yhtälössä on murtoluku, jonka nimittäjässä on lauseke 5x. Koska nollalla ei voi jakaa, yhtälö on mielekäs vain, jos x on erisuuri kuin nolla. Siksi koko yhtälön voi huoletta kertoa 5x:llä, koska tarvittavat ehdot hoituvat jo nimittäjässä olevan funktion määrittelyjoukon kautta.

Kertominen monimutkaisemmilla lausekkeilla

Tärkeä huomautus: jos yhtälö kerrotaan jollakin lausekkeella, on aina kerrottava koko oikea puoli ja koko vasen puoli. Otetaan esimerkiksi tämä yhtälö:

$$x+2=x-4$$

Jos se haluttaisiin kertoa kahdella, olisi kerrottava kokonaiset puolet, näin:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Virhe olisi jättää sulut kirjoittamatta, sillä silloin saataisiin väärä tulos:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Näet, että tulos on eri kuin edellisessä tapauksessa. Samoin jos kerrot monimutkaisemmalla lausekkeella, on kerrottava koko yhtälö. Otetaan esimerkiksi yhtälö

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Kerrotaan tämä yhtälö lausekkeella x + 3, jotta päästään eroon muuttujasta oikean puolen nimittäjässä.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Murtoluku on nyt muodossa, jossa sen voi kauniisti supistaa lausekkeella x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Nyt vasemman puolen voi vielä kertoa auki ja lopuksi vähentää kakkonen, jotta kakkonen ”siirtyy” vasemmalle puolelle ja oikealle puolelle tulee nolla.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Jakaminen

Samoin kuin yhtälön voi kertoa, sen voi myös jakaa. Samalla rajoituksella kuin kertomisessa — nollalla ei saa jakaa. Jakamisen voi nimittäin helposti muuttaa kertomiseksi. Jos yhtälö halutaan jakaa lausekkeella w, se on sama asia kuin kertoa yhtälö murtoluvulla 1/w. Jakamista käytetään usein esimerkiksi tällaisissa tehtävissä:

$$12x=7$$

Tämä on sellainen yhtälö, jolle ei voi paljon muuta tehdä kuin jakaa koko yhtälö kahdellatoista, jolloin saadaan x:n arvo.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Sama tulos saataisiin myös kertomalla yhtälö luvulla 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Potenssiin korotus

Yhtälöitä muokattaessa voi käyttää myös potensseja, mutta tietyin rajoituksin. Kerrataan ensin potensseja. Päteekö tämä yhtäsuuruus?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Jos luku korotetaan toiseen potenssiin ja sen jälkeen otetaan neliöjuuri, saadaanko alkuperäinen luku takaisin? Tämä on salakavala kysymys, ja vastaus on, että ei aina. Kuvittele, että x:n paikalle sijoitetaan negatiivinen luku, esimerkiksi miinus kolme:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Kuten nähdään, yhtäsuuruus ei yhtäkkiä pädekään, koska negatiivisen luvun toinen potenssi on positiivinen luku. Mutta jos positiivisesta luvusta otetaan takaisin neliöjuuri, saadaan taas positiivinen luku. Milloin yhtäsuuruus pätisi? Silloin, kun tiedetään, että käsitellään vain positiivisia tai tarkemmin sanottuna ei-negatiivisia lukuja. Yhtälön saa siis korottaa toiseen potenssiin, jos tiedetään, että käsitellään positiivisia lukuja.

Esimerkiksi geometriassa lasketaan usein yhtälöitä, joissa on janojen pituuksia, ja silloin voi huoletta myös korottaa potenssiin, koska pituus ei voi olla negatiivinen. Myös potenssiin korotuksessa ja juuren ottamisessa pätee sääntö, että koko yhtälö on korotettava potenssiin. Esimerkki:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Oletetaan, että käsitellään vain positiivisia lukuja, joten koko yhtälön saa korottaa toiseen potenssiin:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Saatiin toisen asteen yhtälö, jonka voi ratkaista artikkelissa kuvatuilla keinoilla.

Miten ratkaistaan yhtälö, joka pitää korottaa toiseen potenssiin, mutta ei voi olla varma, käsitelläänkö vain positiivisia lukuja? Se korotetaan yksinkertaisesti toiseen potenssiin ja sen jälkeen tehdään tarkistus, sillä korotuksella voi syntyä tuloksia, jotka eivät ole yhtälön oikeita ratkaisuja. Esimerkki:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Korotetaan yhtälö nyt toiseen potenssiin:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Saadaan jälleen toisen asteen yhtälö, joten se ratkaistaan jollakin sopivalla tekniikalla, esimerkiksi jakamalla tekijöihin (tarkka menettely on viitatussa artikkelissa):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Nähdään, että yksi tulos on 1 ja toinen 4. Tehtiin kuitenkin ei-yhtäpitävä muunnos, joten täytyy vielä tehdä tarkistus. Sijoitetaan nämä ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön ja selvitetään, kumpi niistä on alkuperäisen yhtälön oikea ratkaisu. Sijoitetaan ensin yksi:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Tarkistuksella selvisi, ettei yksi ole alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Entä neljä?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Neljä on alkuperäisen yhtälön ratkaisu, ja tulos löytyi.