Equivalente bewerkingen van vergelijkingen

Bij het herleiden van vergelijkingen gebruiken we equivalente bewerkingen. Die hebben als kenmerk dat ze de geldigheid van de vergelijking niet veranderen. Het doel van equivalente bewerkingen is om de vergelijking in een eenvoudigere vorm te brengen, waaruit we de oplossing al kunnen berekenen.

Wat is een vergelijking

Eerst kort over wat een vergelijking is en hoe we die gaan noteren. Als we twee functies f(x) en g(x) hebben, kunnen we ze aan elkaar gelijkstellen en krijgen we een vergelijking:

$f (x) = g (x)$

In dit geval noemen we f(x) de linkerkant van de vergelijking en g(x) de rechterkant. Voor de abstracte functies f(x) en g(x) kunnen we ons concrete functies voorstellen, bijvoorbeeld f(x) = 3x en g(x) = x + 2. Dan zou de vergelijking er zo uitzien:

$3 x = x + 2$

De oplossing van de vergelijking is dan een verzameling (bijvoorbeeld) S, waarvoor geldt dat de vergelijking nog steeds klopt als we een willekeurige x uit de verzameling S in de vergelijking invullen. De oplossing van onze voorbeeldvergelijking zou dus de verzameling

$S = {1} .$

zijn. Na invullen in de vergelijking krijgen we

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Een equivalente bewerking van een vergelijking is een bewerking die de geldigheid van de vergelijking niet verandert. Een equivalente bewerking zou dus zijn: uit de functie f(x) krijgen we met een bepaalde bewerking de functie f₁(x), uit de functie g(x) krijgen we met dezelfde bewerking g₁(x) en toch geldt nog steeds de gelijkheid

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

De eerste en eenvoudigste equivalente bewerking van vergelijkingen (niet van ongelijkheden!) is het verwisselen van de linkerkant en de rechterkant. Het is wel duidelijk dat als geldt

$f (x) = g (x),$

dat dan ook het verwisselde geldt:

$g (x) = f (x) .$

Meer over vergelijkingen vind je in het artikel Wat is een vergelijking.

Optellen

Het eenvoudigste voorbeeld is het optellen van een uitdrukking bij beide kanten van de vergelijking. Een equivalente bewerking passen we altijd toe op beide kanten van de vergelijking. We nemen dus deze vergelijking:

$x - 3 = 1.$

Deze vergelijking kunnen we oplossen door bij beide kanten het getal drie op te tellen. Bij het herleiden van vergelijkingen noteren we de bewerking meestal achter de schuine streep in de regel waarin we met de bewerking zijn begonnen, zo

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

In het algemeen kunnen we noteren dat we, als we weer twee functies f(x) en g(x) hebben, er een derde functie h(x) bij kunnen optellen zonder de geldigheid van de vergelijking te veranderen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Zoals je ziet, hoeven we niet alleen een getal op te tellen, we kunnen ook een functie optellen:

$x = 2 x + 6$

Gewoonlijk willen we de variabelen links hebben. Dat bereiken we door bij de vergelijking −2x op te tellen, oftewel 2x af te trekken.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

We kunnen natuurlijk ook breuken optellen, als dat je goed uitkomt.

$x - \frac{1}{2} = 471$

We tellen een half op en we hebben de oplossing:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Optellen bij een vergelijking gebruik je klassiek als je een uitdrukking van de ene kant van de vergelijking naar de andere kant wilt “overbrengen”. Als je de vergelijking

$3 = 2 x + 17,$

hebt, hoe krijg je dan de uitdrukking met de variabele, dus 2x, naar de linkerkant van de vergelijking? Heel eenvoudig: je telt bij de hele vergelijking −2x op. Dan krijg je aan de rechterkant van de vergelijking in plaats van 2x nul, omdat 2x − 2x = 0. En aan de andere kant krijgen we −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Vermenigvuldigen

Een vergelijking kunnen we ook vermenigvuldigen met een functie. De enige voorwaarde is dat die functie niet nul mag zijn. We mogen de vergelijking niet met nul vermenigvuldigen, en ook niet met een functie die zich tot nul laat herleiden, bijvoorbeeld f(x) = x − x. Als we dus de vergelijking

$3 x = 7,$

hebben, kunnen we die met twee vermenigvuldigen:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Dit had niet veel zin, vermenigvuldigen gebruik je bijvoorbeeld als je van breuken af wilt:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Als we deze vergelijking vermenigvuldigen met de noemer van de breuk aan de rechterkant van de vergelijking, valt de uitdrukking 5x er mooi uit weg dankzij de eigenschappen van breuken.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Nu vermenigvuldigen we de breuk met de uitdrukking 5x, waardoor 5x in de teller van de breuk komt, en vervolgens kunnen we 5x wegstrepen, omdat we die zowel in de noemer als in de teller hebben.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

Aan het begin van dit onderdeel zei ik dat we niet met nul mogen vermenigvuldigen. Nu hebben we vermenigvuldigd met de uitdrukking 5x, maar die uitdrukking bevat een variabele en als we voor die variabele nul invullen, wordt de hele uitdrukking nul en kijk, dan vermenigvuldigen we al met nul. Wat doen we daaraan?

Dat lossen we op door de voorwaarden te bepalen waaronder we deze bewerking mogen uitvoeren. Nu moeten we dus opschrijven dat we met 5x alleen mogen vermenigvuldigen als x ongelijk is aan nul. Maar kijk nu eens naar de vergelijking die we hebben vermenigvuldigd. De uitdrukking 5x zit daar al in en staat in de noemer van de breuk. Wat betekent dat? We mogen niet door nul delen, dus het domein van de functie $\frac{2}{5 x}$ sluit al uit dat x gelijk is aan nul.

Nog een keer dus: de vergelijking bevat een breuk met de uitdrukking 5x in de noemer. Omdat we niet door nul mogen delen, heeft de vergelijking alleen betekenis als x ongelijk is aan nul. Daarom kunnen we de hele vergelijking zonder zorgen met 5x vermenigvuldigen, want de nodige voorwaarden regelt het domein van de functie in de noemer al voor ons.

Vermenigvuldigen met ingewikkeldere uitdrukkingen

Nu een belangrijke opmerking: als we een vergelijking met een uitdrukking vermenigvuldigen, moeten we altijd de hele rechterkant en de hele linkerkant vermenigvuldigen. Neem als voorbeeld deze vergelijking:

$x + 2 = x - 4$

Als we die met twee willen vermenigvuldigen, moeten we de hele kanten vermenigvuldigen, zo:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Het zou een fout zijn om de haakjes niet op te schrijven, want dan krijgen we een verkeerd resultaat:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Je ziet dat het resultaat anders is dan in het vorige geval. Op dezelfde manier moet je, als je met een ingewikkeldere uitdrukking vermenigvuldigt, de hele vergelijking vermenigvuldigen. Als voorbeeld nemen we de vergelijking

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Deze vergelijking vermenigvuldigen we met de uitdrukking x + 3, om van de variabele in de noemer aan de rechterkant af te komen.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

De breuk staat nu in een vorm waarin we de uitdrukking x + 3 mooi kunnen wegdelen:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Nu kunnen we nog de haakjes aan de linkerkant uitwerken en tot slot twee aftrekken om de twee naar de linkerkant te “verplaatsen”, waardoor we aan de rechterkant nul krijgen.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Net zoals we een vergelijking kunnen vermenigvuldigen, kunnen we hem ook delen. Met dezelfde beperking als bij vermenigvuldigen: we mogen niet door nul delen. Delen kunnen we namelijk eenvoudig omzetten in vermenigvuldigen. Als we de vergelijking door een uitdrukking w willen delen, is dat hetzelfde als de vergelijking met de breuk 1/w vermenigvuldigen. Delen gebruiken we vaak bij voorbeelden zoals dit:

$12 x = 7$

Dit is een type vergelijking waar we verder niet veel mee kunnen. We kunnen alleen de hele vergelijking door twaalf delen, waarmee we de waarde van x krijgen.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Hetzelfde resultaat krijgen we als we de vergelijking met 1/12 vermenigvuldigen:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Kwadrateren

Bij het herleiden van vergelijkingen kunnen we ook machten gebruiken, maar met enkele beperkingen. Eerst frissen we onze kennis van machten op. Klopt deze gelijkheid?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Als je een getal kwadrateert en daarna de wortel trekt, krijg je dan het oorspronkelijke getal terug? Dit is een verraderlijke vraag en het antwoord is: niet altijd. Stel je voor dat je voor x een negatief getal invult, bijvoorbeeld min drie:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Zoals je ziet klopt de gelijkheid ineens niet, want als we een negatief getal kwadrateren, krijgen we een positief getal. Maar als we daarvan weer de wortel trekken, krijgen we opnieuw een positief getal. Wanneer zou deze gelijkheid wel gelden? Als we weten dat we alleen met positieve, of liever gezegd niet-negatieve, getallen werken. We mogen een vergelijking dus kwadrateren als we weten dat we met positieve getallen werken.

In de meetkunde rekenen we bijvoorbeeld vaak met vergelijkingen die de lengtes van lijnstukken bevatten en dan kunnen we zonder zorgen kwadrateren, omdat een lengte als zodanig niet negatief kan zijn. Ook bij kwadrateren of worteltrekken geldt de regel dat we de hele vergelijking moeten kwadrateren. Een voorbeeld:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Stel dat we alleen met positieve getallen werken, dan mogen we de hele vergelijking kwadrateren:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

We hebben een kwadratische vergelijking gekregen, die we kunnen oplossen met de methoden die in dat artikel worden beschreven.

Hoe los je een vergelijking op die je moet kwadrateren, maar waarbij je niet zeker weet of je alleen met positieve getallen werkt? Heel eenvoudig: je kwadrateert en daarna voer je een controle uit. Door te kwadrateren kun je namelijk uitkomsten krijgen die geen juiste oplossingen van de vergelijking zijn. Een voorbeeld:

$\sqrt{x} = x - 2$

We kwadrateren de vergelijking nu:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Opnieuw krijgen we een kwadratische vergelijking, die we oplossen met een geschikte techniek, bijvoorbeeld ontbinden in factoren (de precieze werkwijze staat in het artikel waarnaar we verwijzen):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

We zien dat de ene oplossing 1 is en de andere 4. We weten echter dat we een niet-equivalente bewerking hebben uitgevoerd, dus we moeten nog een controle uitvoeren. We vullen deze oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking in en kijken welke van die uitkomsten een geldige oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is. Eerst vullen we één in:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Met de controle hebben we vastgesteld dat één geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is. En vier?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Vier is een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking, we hebben de oplossing gevonden.

Hoofdstukken: Equivalente bewerkingen van vergelijkingen, Equivalente bewerkingen van ongelijkheden

« Vorige: Wat is een vergelijking

Volgende: Equivalente bewerkingen van ongelijkheden »