Transformações equivalentes de equações

Ao transformar equações, usamos as transformações equivalentes, que se caracterizam por não alterar a validade da equação. O objetivo das transformações equivalentes é levar a equação a uma forma mais simples, da qual já podemos calcular o resultado.

O que é uma equação

Primeiro, uma breve explicação do que é uma equação e de como vamos escrevê-la. Se temos duas funções f(x) e g(x), podemos igualá-las e obter uma equação:

$f (x) = g (x)$

Nesse caso, chamamos f(x) de primeiro membro da equação e g(x) de segundo membro. No lugar das funções abstratas f(x) e g(x), podemos pensar em funções concretas, por exemplo f(x) = 3x e g(x) = x + 2. Então a equação ficaria assim:

$3 x = x + 2$

A solução da equação é um conjunto (por exemplo) S tal que, para cada x do conjunto S, a equação continua sendo verdadeira depois da substituição. Assim, a solução da equação de exemplo seria o conjunto

$S = {1} .$

Substituindo na equação, obtemos

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Uma transformação equivalente de uma equação é, então, uma transformação que não altera a validade da equação. Ou seja, seria uma transformação equivalente aquela em que, a partir da função f(x), obtemos a função f₁(x) e, com a mesma transformação, a partir da função g(x) obtemos g₁(x), e mesmo assim continua valendo a igualdade

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

A primeira e mais simples transformação equivalente de equações (não de inequações!) é trocar o primeiro e o segundo membro. Provavelmente é evidente que, se vale

$f (x) = g (x),$

então também vale a igualdade com os membros trocados

$g (x) = f (x) .$

Dedico mais atenção às equações no artigo O que é uma equação.

Adição

O exemplo mais simples é somar uma expressão aos dois membros da equação. Sempre aplicamos a transformação equivalente aos dois membros. Então tomemos esta equação:

$x - 3 = 1.$

Podemos resolver essa equação somando o número três aos dois membros. Ao transformar equações, em geral escrevemos a operação depois de uma barra, na linha em que começamos a transformação, assim

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

De modo geral, podemos escrever que, tendo de novo duas funções f(x) e g(x), podemos somar a elas uma terceira função h(x) sem alterar a validade da equação.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Como se vê, não precisamos somar apenas um número, podemos somar também uma função:

$x = 2 x + 6$

Por costume, queremos as variáveis à esquerda, o que conseguimos somando −2x à equação, ou seja, subtraindo 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Podemos somar também frações, é claro, se isso for conveniente.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Somamos um meio e temos o resultado:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Você usa a adição em uma equação, classicamente, quando quer “passar” uma expressão de um membro da equação para o outro. Se você tem a equação

$3 = 2 x + 17,$

como levar a expressão com a variável, isto é, 2x, para o primeiro membro da equação? Simplesmente some −2x à equação inteira. Assim, no segundo membro, em vez de 2x você obtém zero, porque 2x − 2x = 0. E, do outro lado, obtemos −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Multiplicação

Também podemos multiplicar a equação por uma função. A única condição é que essa função não seja nula. Não podemos multiplicar a equação por zero, nem por uma função que possa ser reduzida a zero, por exemplo f(x) = x − x. Então, se temos a equação

$3 x = 7,$

podemos multiplicá-la por dois:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Isso provavelmente não fez muito sentido; a multiplicação é usada, por exemplo, quando precisamos eliminar frações:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Se multiplicarmos essa equação pelo denominador da fração do segundo membro, a expressão 5x se simplifica perfeitamente, graças às propriedades das frações.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Agora multiplicamos a fração pela expressão 5x, de modo que o 5x vai para o numerador da fração e, em seguida, podemos simplificar a expressão 5x, porque ela aparece tanto no denominador quanto no numerador.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

No início desta parte eu disse que não podemos multiplicar por zero. Agora multiplicamos pela expressão 5x, só que essa expressão contém uma variável e, se substituirmos essa variável por zero, a expressão inteira também dá zero e, olha só, já estamos multiplicando por zero. O que fazer?

Isso se resolve determinando as condições em que podemos fazer essa transformação. Neste caso, temos de escrever que só podemos multiplicar por 5x supondo que x seja diferente de zero. Mas agora vamos olhar para a equação que multiplicamos. A expressão 5x já está presente nela, no denominador da fração. O que isso significa? Não podemos dividir por zero, então o próprio domínio da função $\frac{2}{5 x}$ já exclui que x seja igual a zero.

Então, mais uma vez: a equação contém uma fração com a expressão 5x no denominador. Como não podemos dividir por zero, a equação só tem sentido supondo que x seja diferente de zero. Por isso podemos multiplicar a equação inteira por 5x sem preocupação, porque as condições necessárias já são garantidas pelo domínio da função do denominador.

Multiplicação por expressões mais complicadas

Agora uma observação importante: quando multiplicamos uma equação por uma expressão, devemos sempre multiplicar todo o segundo membro e todo o primeiro membro. Como exemplo, tomemos esta equação:

$x + 2 = x - 4$

Se quiséssemos multiplicá-la por dois, teríamos de multiplicar os membros inteiros, assim:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Seria um erro não escrever os parênteses, porque obteríamos um resultado errado:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Você vê que o resultado é diferente do caso anterior. Da mesma forma, se você multiplica por uma expressão mais complicada, deve multiplicar a equação inteira. Como exemplo, tomemos a equação

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Multiplicamos essa equação pela expressão x + 3 para nos livrarmos da variável no denominador do segundo membro.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

Temos a fração numa forma em que podemos simplificá-la facilmente pela expressão x + 3:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Agora ainda podemos desenvolver o primeiro membro da equação e, por fim, subtrair o dois, para “passar” o dois para o primeiro membro, obtendo zero no segundo membro.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Divisão

Assim como podemos multiplicar uma equação, também podemos dividi-la. Com a mesma restrição do caso da multiplicação: não podemos dividir por zero. Afinal, a divisão pode ser facilmente transformada em multiplicação. Se queremos dividir a equação pela expressão w, é o mesmo que multiplicar a equação pela fração 1/w. A divisão é usada com frequência em exemplos como este:

$12 x = 7$

Esse é o tipo de equação com a qual já não dá para fazer muito mais; só podemos dividir a equação inteira por doze, obtendo o valor de x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \div 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Obteríamos o mesmo resultado se multiplicássemos a equação por 1/12:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Potenciação

Ao transformar equações, também podemos usar potências, mas com certas restrições. Primeiro vamos refrescar o que sabemos sobre potências. Vale esta igualdade?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Se você elevar um número ao quadrado e depois extrair a raiz quadrada, você obtém de volta o número original? Essa é uma pergunta traiçoeira, e a resposta é que nem sempre. Imagine que você substitui x por um número negativo, por exemplo menos três:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Como se vê, a igualdade de repente não vale, porque, ao elevar um número negativo ao quadrado, obtemos um número positivo. Mas, se extrairmos de volta a raiz de um número positivo, obtemos de novo um número positivo. Quando essa igualdade valeria? No caso em que sabemos que trabalhamos apenas com números positivos, ou melhor, não negativos. Portanto, podemos nos dar ao luxo de elevar a equação ao quadrado quando sabemos que trabalhamos com números positivos.

Por exemplo, na geometria muitas vezes resolvemos equações que contêm comprimentos de segmentos e, nesse caso, podemos elevar ao quadrado sem receio, porque um comprimento, como tal, não pode ser negativo. Mesmo ao elevar ao quadrado ou extrair a raiz, vale a regra de que devemos operar a equação inteira. Então, um exemplo:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Suponhamos que nos movemos apenas entre números positivos; por isso podemos elevar a equação inteira ao quadrado:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Obtivemos uma equação do 2º grau, que podemos resolver com os métodos descritos no artigo.

Como se resolveria uma equação que você precisa elevar ao quadrado, mas sem ter certeza de que se move apenas entre números positivos? Simplesmente você eleva ao quadrado e depois faz a verificação, porque, ao elevar ao quadrado, você pode obter resultados que não são soluções corretas da equação. Então, um exemplo:

$\sqrt{x} = x - 2$

Agora elevamos a equação ao quadrado:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

De novo obtemos uma equação do 2º grau, então vamos resolvê-la por uma técnica adequada, por exemplo a fatoração (o procedimento exato está no artigo indicado):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Vemos que uma solução é 1 e a outra é 4. Só que sabemos que fizemos uma transformação não equivalente, então ainda precisamos fazer a verificação. Substituímos essas soluções na equação original e descobrimos qual delas é solução válida da equação original. Primeiro substituímos o um:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Com a verificação, descobrimos que o um não é solução da equação original. E o quatro?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

O quatro é solução da equação original; encontramos o resultado.

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