Еквивалентни преобразувания на уравнения

При преобразуванията на уравнения използваме еквивалентни преобразувания, които се отличават с това, че не променят валидността на уравнението. Смисълът на еквивалентните преобразувания е да приведем уравнението в по-прост вид, от който вече можем да пресметнем резултата.

Какво е уравнение

Първо накратко какво е уравнение и как ще го записваме. Ако имаме две функции f(x) и g(x), можем да ги приравним и да получим уравнение:

$f (x) = g (x)$

В този случай f(x) наричаме лява страна на уравнението, а g(x) – дясна страна. Вместо абстрактните функции f(x) и g(x) можем да си представим конкретни функции, например f(x) = 3x и g(x) = x + 2. Тогава уравнението би изглеждало така:

$3 x = x + 2$

Решение на уравнението е множеството (например) S, за което при всяко x от S след заместване в уравнението то остава изпълнено. Значи решение на примерното уравнение е множеството

$S = {1} .$

След заместване в уравнението получаваме

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Еквивалентно преобразувание на уравнение е такова преобразувание, което не променя валидността на уравнението. Значи еквивалентно би било преобразувание, при което от функцията f(x) получаваме функцията f₁(x) и със същото преобразувание от функцията g(x) получаваме g₁(x), а равенството пак е в сила:

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

Първото и най-просто еквивалентно преобразувание на уравнения (не на неравенства!) е размяната на лявата и дясната страна. Вероятно е ясно, че ако е в сила

$f (x) = g (x),$

то е в сила и равенството с разменени страни

$g (x) = f (x) .$

На уравненията се спирам по-подробно в статията Какво е уравнение.

Прибавяне

Най-простият пример е прибавянето на някакъв израз към двете страни на уравнението. Еквивалентното преобразувание винаги прилагаме към двете страни на уравнението. Нека имаме това уравнение:

$x - 3 = 1.$

Това уравнение можем да решим, като към двете страни прибавим числото три. При преобразуванията на уравнения обикновено записваме преобразуването след наклонена черта на реда, на който сме започнали преобразуването, така

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

В общия случай можем да запишем, че ако отново имаме две функции f(x) и g(x), можем да прибавим към тях трета функция h(x) и няма да променим валидността на уравнението.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Както се вижда, не е нужно да прибавяме само число, можем да прибавяме и функция:

$x = 2 x + 6$

По навик искаме променливите да са отляво, което постигаме, като към уравнението прибавим −2x, или иначе казано извадим 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Можем да прибавяме, разбира се, и дроби, ако ни е удобно.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Прибавяме една втора и имаме резултата:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Прибавянето към уравнението се използва типично, когато искаш да „прехвърлиш“ израз от едната страна на уравнението на другата. Ако имаш уравнението

$3 = 2 x + 17,$

как ще преместиш израза с променливата, т.е. 2x, от дясната страна в лявата? Просто прибавяш −2x към цялото уравнение. Така от дясната страна на уравнението вместо 2x получаваш нула, защото 2x − 2x = 0. А от другата страна получаваме −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Умножение

Уравнението можем да умножим и с някаква функция. Единственото условие е тази функция да не е нулева. Не можем да умножим уравнението по нула, нито с функция, която може да се преобразува в нула, например f(x) = x − x. Значи ако имаме уравнението

$3 x = 7,$

можем да го умножим по две:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Това едва ли има голям смисъл, умножението се използва например когато трябва да се освободим от дроби:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Ако умножим това уравнение по знаменателя на дробта от дясната страна, изразът 5x се съкращава чудесно благодарение на свойствата на дробите.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Сега умножаваме дробта по израза 5x, с което 5x попада в числителя на дробта и после можем да съкратим израза 5x, защото го имаме и в знаменателя, и в числителя.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

В началото на тази част казах, че не бива да умножаваме по нула. Сега умножавахме по израза 5x – но този израз съдържа променлива и ако в нея заместим нула, целият израз става нула и ето, вече умножаваме по нула. Какво да правим?

Решава се така, че се определят условията, при които можем да извършим това преобразувание. В този момент трябва да напишем, че можем да умножим по 5x само при условие че x е различно от нула. Но нека сега погледнем уравнението, което умножавахме. Изразът 5x вече се съдържа в него и е в знаменателя на дробта. Какво означава това? Не можем да делим на нула, така че самото дефиниционно множество на функцията $\frac{2}{5 x}$ изключва x да е равно на нула.

Значи още веднъж – уравнението съдържа дроб с израза 5x в знаменателя. Тъй като не можем да делим на нула, уравнението има смисъл само при условие че x е различно от нула. Затова можем без грижа да умножим цялото уравнение по 5x, защото необходимите условия вече ни осигурява дефиниционното множество на функцията в знаменателя.

Умножение с по-сложни изрази

Сега една важна забележка: ако умножаваме уравнението по някакъв израз, винаги трябва да умножаваме цялата дясна страна и цялата лява страна. Като пример да вземем това уравнение:

$x + 2 = x - 4$

Ако искаме да го умножим по две, трябва да умножим всяка страна изцяло, така:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Грешка би било да не напишем скобите, защото ще получим неверен резултат:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Виждаш, че резултатът е различен от предишния случай. По подобен начин, ако умножаваш по по-сложен израз, трябва да умножиш цялото уравнение. Като пример вземаме уравнението

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Умножаваме това уравнение с израза x + 3, за да се освободим от променливата в знаменателя от дясната страна.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

Дробта е във вид, в който можем лесно да я съкратим с израза x + 3:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Сега можем още да разкрием скобите отляво и накрая да извадим 2, за да „преместим“ двойката в лявата страна, с което от дясната страна получаваме нула.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Деление

Както можем да умножаваме уравнението, можем и да го делим. При същото ограничение като при умножението – не бива да делим на нула. Делението всъщност лесно може да се превърне в умножение. Ако искаме да разделим уравнението на израза w, това е същото, като да умножим уравнението по дробта 1/w. Делението често се използва в примери като този:

$12 x = 7$

Това е вид уравнение, с което вече не можем да направим много, можем единствено да разделим цялото уравнение на дванайсет, с което получаваме стойността на x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Същия резултат бихме получили, ако умножим уравнението по 1/12:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Повдигане на степен

При преобразуванията на уравнения можем да използваме и степени, но с известни ограничения. Първо да освежим знанията си за степените. Вярно ли е това равенство?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Ако повдигнеш някакво число на квадрат и после извадиш квадратен корен, получаваш ли обратно първоначалното число? Това е подвеждащ въпрос и отговорът е, че не винаги. Представи си, че заместиш x с отрицателно число, например минус три:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Както се вижда, равенството изведнъж не е в сила, защото когато повдигнем отрицателно число на квадрат, получаваме положително число. Но ако после извадим корен от положителното число, пак получаваме положително число. Кога би било в сила това равенство? Когато знаем, че работим само с положителни, или по-точно с неотрицателни числа. Значи можем да си позволим да повдигнем уравнението на степен, когато знаем, че работим с положителни числа.

Например в геометрията често решаваме уравнения, които съдържат дължини на някакви отсечки, и в такъв случай можем без опасения да повдигаме на степен, защото дължината като такава не може да бъде отрицателна. И при повдигането на степен, и при коренуването е в сила правилото, че трябва да повдигнем цялото уравнение. Ето пример:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Нека предположим, че се движим само сред положителните числа, затова можем да си позволим да повдигнем цялото уравнение на квадрат:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Получихме квадратно уравнение, което можем да решим със средствата, описани в статията.

Как се решава уравнение, което трябва да повдигнеш на квадрат, но не можеш да си сигурен дали се движиш само сред положителни числа? Просто го повдигаш и после правиш проверка, защото с повдигането на степен можеш да получиш резултати, които не са верни решения на уравнението. Ето пример:

$\sqrt{x} = x - 2$

Сега повдигаме уравнението на квадрат:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Отново получаваме квадратно уравнение, затова го решаваме с подходяща техника, например чрез разлагане на множители (точният начин е в статията, към която води връзката):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Виждаме, че единият резултат е 1, а другият 4. Но знаем, че извършихме нееквивалентно преобразувание, така че трябва да направим и проверка. Заместваме тези решения в първоначалното уравнение и установяваме кой от резултатите е валидно решение на първоначалното уравнение. Първо заместваме с единица:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

С проверката установихме, че единицата не е решение на първоначалното уравнение. А четворката?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Четворката е решение на първоначалното уравнение, намерихме резултата.

Глави: Еквивалентни преобразувания на уравнения, Еквивалентни преобразувания на неравенства

« Предишна: Какво е уравнение

Следваща: Еквивалентни преобразувания на неравенства »