Ekvivalenta omformningar av ekvationer

När vi formar om ekvationer använder vi ekvivalenta omformningar, som kännetecknas av att de inte ändrar ekvationens lösningar. Meningen med ekvivalenta omformningar är att få ekvationen på en enklare form, från vilken vi redan kan beräkna lösningen.

Vad är en ekvation

Först kort om vad en ekvation är och hur vi ska skriva den. Om vi har två funktioner f(x) och g(x) kan vi sätta dem lika och få en ekvation:

$f (x) = g (x)$

Här kallar vi f(x) ekvationens vänsterled och g(x) dess högerled. I stället för de abstrakta funktionerna f(x) och g(x) kan vi tänka oss konkreta funktioner, till exempel f(x) = 3x och g(x) = x + 2. Då ser ekvationen ut så här:

$3 x = x + 2$

Lösningen till ekvationen är då en mängd, till exempel S, sådan att ekvationen fortfarande gäller när vi sätter in vilket x som helst ur mängden S. Lösningen till exempelekvationen är alltså mängden

$S = {1} .$

När vi sätter in i ekvationen får vi

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

En ekvivalent omformning av en ekvation är en omformning som inte påverkar om ekvationen gäller. Det är alltså en omformning där vi får funktionen f₁(x) ur funktionen f(x) och med samma omformning g₁(x) ur g(x), och där likheten ändå gäller:

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

Den första och enklaste ekvivalenta omformningen av ekvationer (inte av olikheter!) är att byta plats på vänsterled och högerled. Det är nog uppenbart att om

$f (x) = g (x),$

så gäller likheten också med omkastade led

$g (x) = f (x) .$

Ekvationer behandlar jag mer ingående i artikeln Vad är en ekvation.

Addition

Det enklaste exemplet är att addera ett uttryck till båda leden i en ekvation. En ekvivalent omformning gör vi alltid på båda sidor av ekvationen. Låt oss ta den här ekvationen:

$x - 3 = 1.$

Ekvationen kan vi lösa genom att addera talet tre till båda leden. När vi formar om ekvationer skriver vi vanligen omformningen efter ett snedstreck på den rad där vi började omformningen, så här:

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

Allmänt kan vi skriva att om vi åter har två funktioner f(x) och g(x) kan vi addera en tredje funktion h(x) till dem utan att ändra ekvationens lösningar.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Som du ser behöver vi inte bara addera ett tal, vi kan också addera en funktion:

$x = 2 x + 6$

Av vana vill vi ha variablerna till vänster, vilket vi uppnår genom att addera −2x till ekvationen, eller med andra ord subtrahera 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Vi kan förstås också addera bråk, om det passar.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Vi adderar en halv och har lösningen:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Addition använder du typiskt när du vill ”flytta över” ett uttryck från ena ledet till det andra. Om du har ekvationen

$3 = 2 x + 17,$

hur får du då uttrycket med variabeln, alltså 2x, till vänsterledet? Du adderar helt enkelt −2x till hela ekvationen. Då får du i högerledet noll i stället för 2x, eftersom 2x − 2x = 0. Och i andra ledet får vi −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Multiplikation

Vi kan också multiplicera ekvationen med en funktion. Det enda villkoret är att funktionen inte får vara noll. Vi kan inte multiplicera ekvationen med noll, och inte heller med en funktion som kan förenklas till noll, till exempel f(x) = x − x. Om vi har ekvationen

$3 x = 7,$

kan vi multiplicera den med två:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Det här var kanske inte så meningsfullt. Multiplikation använder du till exempel när du behöver bli av med bråk:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Om vi multiplicerar ekvationen med nämnaren i bråket i högerledet förkortas uttrycket 5x bort tack vare bråkens egenskaper.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Nu multiplicerar vi bråket med uttrycket 5x, så att 5x hamnar i täljaren, och sedan kan vi förkorta bort 5x, eftersom det står både i nämnaren och i täljaren.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

I början av det här avsnittet sa jag att vi inte får multiplicera med noll. Nu multiplicerade vi med uttrycket 5x, men det uttrycket innehåller en variabel, och om vi sätter in noll för variabeln blir hela uttrycket noll, och plötsligt multiplicerar vi med noll. Vad gör vi då?

Det löser vi genom att bestämma villkoren för att omformningen ska vara tillåten. Vi måste alltså skriva att vi får multiplicera med 5x bara under förutsättning att x är skilt från noll. Men låt oss nu titta på ekvationen vi multiplicerade. Uttrycket 5x finns redan där, i bråkets nämnare. Vad betyder det? Vi kan inte dividera med noll, så redan definitionsmängden för funktionen $\frac{2}{5 x}$ utesluter att x är lika med noll.

Så en gång till: ekvationen innehåller ett bråk med uttrycket 5x i nämnaren. Eftersom vi inte kan dividera med noll har ekvationen bara mening om x är skilt från noll. Därför kan vi utan oro multiplicera hela ekvationen med 5x, eftersom de nödvändiga villkoren redan ges av definitionsmängden för funktionen i nämnaren.

Multiplikation med mer komplicerade uttryck

Nu en viktig anmärkning: när vi multiplicerar en ekvation med ett uttryck måste vi alltid multiplicera hela högerledet och hela vänsterledet. Som exempel tar vi den här ekvationen:

$x + 2 = x - 4$

Om vi vill multiplicera den med två måste vi multiplicera hela leden, så här:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Det vore fel att utelämna parenteserna, för då får vi ett felaktigt resultat:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Du ser att resultatet blir ett annat än i förra fallet. På samma sätt måste du multiplicera hela ekvationen om du multiplicerar med ett mer komplicerat uttryck. Som exempel tar vi ekvationen

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Den här ekvationen multiplicerar vi med uttrycket x + 3 för att bli av med variabeln i nämnaren i högerledet.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

Bråket har nu en form där vi fint kan förkorta det med uttrycket x + 3:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Nu kan vi multiplicera ut vänsterledet och till sist subtrahera tvåan för att ”flytta över” den till vänster, så att högerledet blir noll.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Division

Precis som vi kan multiplicera en ekvation kan vi också dividera den. Med samma begränsning som vid multiplikation: vi får inte dividera med noll. Division kan nämligen enkelt omvandlas till multiplikation. Om vi vill dividera ekvationen med uttrycket w blir det samma sak som att multiplicera ekvationen med bråket 1/w. Division används ofta i exempel som det här:

$12 x = 7$

Det här är en typ av ekvation som vi inte kan göra så mycket mer med, vi kan bara dividera hela ekvationen med tolv, och då får vi värdet på x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Samma resultat hade vi fått om vi hade multiplicerat ekvationen med 1/12:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Potensering

När vi formar om ekvationer kan vi också använda potenser, men med vissa begränsningar. Först friskar vi upp kunskaperna om potenser. Gäller den här likheten?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Om du kvadrerar ett tal och sedan drar kvadratroten ur det, får du då tillbaka det ursprungliga talet? Det här är en lömsk fråga, och svaret är att det inte alltid blir så. Tänk dig att du sätter in ett negativt tal för x, till exempel minus tre:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Som du ser gäller likheten plötsligt inte, för när vi kvadrerar ett negativt tal får vi ett positivt tal. Men om vi sedan drar roten ur ett positivt tal får vi åter ett positivt tal. När skulle likheten gälla? I de fall då vi vet att vi arbetar bara med positiva, eller snarare icke-negativa, tal. Vi kan alltså tillåta oss att kvadrera ekvationen om vi vet att vi arbetar med positiva tal.

Till exempel i geometrin räknar vi ofta med ekvationer som innehåller längder av sträckor, och då kan vi utan oro kvadrera, eftersom en längd inte kan vara negativ. Även vid kvadrering eller rotutdragning gäller att vi måste kvadrera hela ekvationen. Så ett exempel:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Vi antar att vi rör oss bara bland positiva tal, och därför kan vi tillåta oss att kvadrera hela ekvationen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Vi fick en andragradsekvation, som vi kan lösa med metoderna i artikeln om den.

Hur löser du en ekvation som du behöver kvadrera, men där du inte kan vara säker på att du rör dig bara bland positiva tal? Du kvadrerar helt enkelt och gör sedan en kontroll, eftersom du genom kvadreringen kan få lösningar som inte är lösningar till ekvationen. Så ett exempel:

$\sqrt{x} = x - 2$

Nu kvadrerar vi ekvationen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Åter får vi en andragradsekvation, så vi löser den med någon lämplig teknik, till exempel faktorisering (den exakta metoden finns i den länkade artikeln):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Vi ser att den ena lösningen är 1 och den andra 4. Men vi vet att vi gjorde en icke-ekvivalent omformning, så vi måste göra en kontroll. Vi sätter in lösningarna i den ursprungliga ekvationen och undersöker vilka av dem som är giltiga lösningar till den ursprungliga ekvationen. Först sätter vi in ettan:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Kontrollen visade att talet ett inte är en lösning till den ursprungliga ekvationen. Hur är det med fyran?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Fyran är en lösning till den ursprungliga ekvationen, vi har hittat lösningen.

Kapitel: Ekvivalenta omformningar av ekvationer, Ekvivalenta omformningar av olikheter

« Föregående: Vad är en ekvation

Nästa: Ekvivalenta omformningar av olikheter »