Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Beim Umformen von Gleichungen verwenden wir Äquivalenzumformungen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie die Gültigkeit der Gleichung nicht ändern. Der Sinn von Äquivalenzumformungen ist es, die Gleichung in eine einfachere Form zu bringen, aus der wir das Ergebnis der Gleichung schon berechnen können.

Was ist eine Gleichung

Zunächst kurz dazu, was eine Gleichung ist und wie wir sie schreiben. Haben wir zwei Funktionen f(x) und g(x), dann können wir sie gleichsetzen und erhalten die Gleichung:

$$f(x)=g(x)$$

In diesem Fall nennen wir f(x) die linke Seite der Gleichung und g(x) die rechte Seite. Für die abstrakten Funktionen f(x) und g(x) können wir uns konkrete Funktionen vorstellen, zum Beispiel f(x) = 3x und g(x) = x + 2. Dann würde die Gleichung so aussehen:

$$3x=x+2$$

Die Lösung der Gleichung ist dann eine Menge (zum Beispiel) L, für die gilt: Setzen wir ein beliebiges x aus der Menge L in die Gleichung ein, ist die Gleichung weiterhin erfüllt. Die Lösung der Beispielgleichung wäre also die Menge

$$L=\left\{1\right\}.$$

Nach dem Einsetzen in die Gleichung erhalten wir

$$3\cdot 1=1+2$$

Eine Äquivalenzumformung einer Gleichung ist dann eine Umformung, die die Gültigkeit der Gleichung nicht ändert. Eine Äquivalenzumformung wäre also eine Umformung, bei der wir aus der Funktion f(x) die Funktion f₁(x) erhalten und durch dieselbe Umformung aus der Funktion g(x) die Funktion g₁(x) und trotzdem würde noch die Gleichheit gelten:

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Die erste und einfachste Äquivalenzumformung von Gleichungen (nicht von Ungleichungen!) ist das Vertauschen der linken und der rechten Seite. Es ist wohl offensichtlich: Gilt

$$f(x)=g(x),$$

dann gilt auch die vertauschte Gleichung

$$g(x)=f(x).$$

Mit Gleichungen beschäftige ich mich ausführlicher im Artikel Was ist eine Gleichung.

Addieren

Das einfachste Beispiel ist das Addieren eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung. Eine Äquivalenzumformung wenden wir immer auf beide Seiten der Gleichung an. Nehmen wir also diese Gleichung:

$$x-3=1.$$

Diese Gleichung können wir lösen, indem wir auf beiden Seiten die Zahl drei addieren. Beim Umformen von Gleichungen schreiben wir die jeweilige Umformung üblicherweise hinter den Schrägstrich in die Zeile, in der wir mit der Umformung begonnen haben, so:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Allgemein können wir schreiben: Haben wir wieder zwei Funktionen f(x) und g(x), können wir eine dritte Funktion h(x) addieren und ändern die Gültigkeit der Gleichung nicht.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Wie du siehst, müssen wir nicht nur eine Zahl addieren, wir können auch eine Funktion addieren:

$$x=2x+6$$

Wie üblich wollen wir die Variablen links haben, was wir erreichen, indem wir zur Gleichung −2x addieren, beziehungsweise 2x subtrahieren.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Addieren können wir natürlich auch Brüche, wenn es dir passt.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Wir addieren ein Halb und haben das Ergebnis:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Das Addieren nutzt du typischerweise dann, wenn du einen Term von einer Seite der Gleichung auf die andere Seite „schaffen“ willst. Wenn du die Gleichung

$$3=2x+17,$$

hast, wie bekommst du dann den Term mit der Variablen, also 2x, auf die linke Seite der Gleichung? Ganz einfach: Du addierst zur ganzen Gleichung −2x. Dadurch erhältst du auf der rechten Seite der Gleichung statt 2x eine Null, denn 2x − 2x = 0. Und auf der anderen Seite erhalten wir −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Multiplizieren

Die Gleichung können wir auch mit einer Funktion multiplizieren. Die einzige Bedingung ist, dass diese Funktion nicht null sein darf. Wir können die Gleichung weder mit null multiplizieren noch mit einer Funktion, die sich zu null umformen ließe, zum Beispiel f(x) = x − x. Haben wir also die Gleichung

$$3x=7,$$

können wir sie mit zwei multiplizieren:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Das ergab wohl nicht viel Sinn; Multiplizieren verwendet man zum Beispiel dann, wenn man Brüche loswerden will:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Multiplizieren wir diese Gleichung mit dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite, kürzt sich der Term 5x dank der Eigenschaften von Brüchen wunderbar weg.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Jetzt multiplizieren wir den Bruch mit dem Term 5x, wodurch 5x in den Zähler des Bruchs gelangt, und anschließend können wir den Term 5x kürzen, weil er sowohl im Nenner als auch im Zähler steht.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Zu Beginn dieses Abschnitts habe ich gesagt, dass wir nicht mit null multiplizieren dürfen. Jetzt haben wir mit dem Term 5x multipliziert – dieser Term enthält aber eine Variable, und setzen wir für diese Variable null ein, ist der ganze Term null, und siehe da, schon multiplizieren wir mit null. Was tun?

Man löst das so, dass man die Bedingungen bestimmt, unter denen wir diese Umformung durchführen dürfen. Wir müssen also jetzt aufschreiben, dass wir mit 5x nur unter der Voraussetzung multiplizieren dürfen, dass x ungleich null ist. Aber schauen wir uns jetzt noch die Gleichung an, die wir multipliziert haben. Der Term 5x ist darin bereits enthalten und steht im Nenner des Bruchs. Was bedeutet das? Wir dürfen nicht durch null dividieren, also schließt schon die Definitionsmenge der Funktion $\frac{2}{5x}$ aus, dass x gleich null ist.

Noch einmal also – die Gleichung enthält einen Bruch mit dem Term 5x im Nenner. Weil wir nicht durch null dividieren dürfen, ergibt die Gleichung nur unter der Voraussetzung Sinn, dass x ungleich null ist. Deshalb können wir die ganze Gleichung ohne Sorge mit 5x multiplizieren, denn die nötigen Bedingungen besorgt uns schon die Definitionsmenge der Funktion im Nenner.

Multiplizieren mit komplizierteren Termen

Jetzt ein wichtiger Hinweis: Wenn wir die Gleichung mit einem Term multiplizieren, müssen wir immer die ganze rechte Seite und die ganze linke Seite multiplizieren. Nehmen wir als Beispiel diese Gleichung:

$$x+2=x-4$$

Wollten wir sie mit zwei multiplizieren, müssten wir die ganzen Seiten multiplizieren, so:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Ein Fehler wäre es, die Klammern nicht zu schreiben, denn wir würden ein falsches Ergebnis erhalten:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Du siehst, dass das Ergebnis anders ist als im vorherigen Fall. Ebenso musst du, wenn du mit einem komplizierteren Term multiplizierst, die ganze Gleichung multiplizieren. Als Beispiel nehmen wir die Gleichung

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Diese Gleichung multiplizieren wir mit dem Term x + 3, um die Variable im Nenner auf der rechten Seite loszuwerden.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Den Bruch haben wir in einer Form, in der wir ihn schön mit dem Term x + 3 kürzen können:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Jetzt können wir noch die linke Seite der Gleichung ausmultiplizieren und zum Schluss die Zwei subtrahieren, um die Zwei auf die linke Seite zu „schaffen“, wodurch wir auf der rechten Seite null erhalten.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Dividieren

So wie wir die Gleichung multiplizieren können, können wir sie auch dividieren. Mit derselben Einschränkung wie beim Multiplizieren – wir dürfen nicht durch null dividieren. Das Dividieren können wir nämlich einfach in ein Multiplizieren umwandeln. Wollen wir die Gleichung durch den Term w dividieren, ist das dasselbe, als würden wir die Gleichung mit dem Bruch 1/w multiplizieren. Das Dividieren wird oft in Beispielen wie diesem verwendet:

$$12x=7$$

Das ist ein Gleichungstyp, mit dem wir nicht mehr viel machen können, wir können nur die ganze Gleichung durch zwölf dividieren, wodurch wir den Wert x erhalten.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Dasselbe Ergebnis erhielten wir, wenn wir die Gleichung mit 1/12 multiplizierten:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Potenzieren

Beim Umformen von Gleichungen können wir auch Potenzen verwenden, aber mit gewissen Einschränkungen. Zuerst frischen wir unser Wissen über Potenzen auf. Gilt diese Gleichheit?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Wenn du eine Zahl quadrierst und anschließend die Quadratwurzel ziehst, erhältst du dann wieder die ursprüngliche Zahl? Das ist eine heimtückische Frage, und die Antwort ist: nicht immer. Stell dir vor, dass du für x eine negative Zahl einsetzt, zum Beispiel minus drei:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Wie du siehst, gilt die Gleichung plötzlich nicht mehr, denn wenn wir eine negative Zahl quadrieren, erhalten wir eine positive Zahl. Ziehen wir aber aus einer positiven Zahl die Wurzel, erhalten wir wieder eine positive Zahl. Wann würde diese Gleichheit gelten? In dem Fall, dass wir wissen, dass wir nur mit positiven, beziehungsweise nichtnegativen, Zahlen arbeiten. Die Gleichung dürfen wir also quadrieren, wenn wir wissen, dass wir mit positiven Zahlen arbeiten.

In der Geometrie zum Beispiel rechnen wir oft Gleichungen, die Längen von Strecken enthalten, und dann können wir unbesorgt auch quadrieren, weil eine Länge als solche nicht negativ sein kann. Auch beim Potenzieren oder Wurzelziehen gilt die Regel, dass wir die ganze Gleichung potenzieren müssen. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Nehmen wir an, dass wir uns nur bei positiven Zahlen bewegen, deshalb dürfen wir die ganze Gleichung quadrieren:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Wir haben eine quadratische Gleichung erhalten, die wir mit den im Artikel beschriebenen Mitteln lösen können.

Wie löst du eine Gleichung, die du quadrieren musst, bei der du dir aber nicht sicher sein kannst, ob du dich nur bei positiven Zahlen bewegst? Ganz einfach: Du quadrierst sie und führst danach die Probe durch, denn durch das Quadrieren kannst du Ergebnisse erhalten, die keine Lösungen der Gleichung sind. Also ein Beispiel:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Die Gleichung quadrieren wir nun:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Wieder erhalten wir eine quadratische Gleichung, also lösen wir sie mit einem geeigneten Verfahren, zum Beispiel durch Zerlegen in Faktoren (das genaue Vorgehen steht im verlinkten Artikel):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Wir sehen, dass das eine Ergebnis 1 und das andere 4 ist. Wir wissen aber, dass wir keine Äquivalenzumformung durchgeführt haben, also müssen wir noch die Probe machen. Wir setzen diese Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, welches dieser Ergebnisse eine gültige Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Zuerst setzen wir die Eins ein:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Durch die Überprüfung haben wir festgestellt, dass die Eins keine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Und die Vier?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Die Vier ist eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, wir haben das Ergebnis gefunden.