Ækvivalente omformninger af ligninger

Når vi omformer ligninger, bruger vi ækvivalente omformninger, som kendetegnes ved, at de ikke ændrer ligningens løsninger. Meningen med ækvivalente omformninger er at bringe ligningen på en enklere form, hvorudfra vi kan beregne ligningens resultat.

Hvad er en ligning

Først kort om, hvad en ligning er, og hvordan vi vil skrive den. Hvis vi har to funktioner f(x) og g(x), kan vi sætte dem lig med hinanden og få en ligning:

$$f(x)=g(x)$$

I dette tilfælde kalder vi f(x) ligningens venstreside og g(x) dens højreside. I stedet for de abstrakte funktioner f(x) og g(x) kan vi forestille os konkrete funktioner, for eksempel f(x) = 3x og g(x) = x + 2. Så ville ligningen se sådan ud:

$$3x=x+2$$

Løsningen til ligningen er så en mængde (for eksempel) L, hvor det for hvert x i mængden L gælder, at ligningen stadig gælder, når vi indsætter det. Løsningsmængden til eksempelligningen ville altså være mængden

$$L=\left\{1\right\}.$$

Når vi indsætter i ligningen, får vi

$$3\cdot 1=1+2$$

En ækvivalent omformning af en ligning er så en omformning, der ikke ændrer ligningens løsninger. En ækvivalent omformning ville altså være en omformning, hvor vi af funktionen f(x) fik funktionen f₁(x), og ved den samme omformning fik vi af funktionen g(x) funktionen g₁(x), og alligevel stadig havde ligheden

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Den første og enkleste ækvivalente omformning af ligninger (ikke uligheder!) er at bytte om på venstre og højre side. Det er nok indlysende, at hvis der gælder

$$f(x)=g(x),$$

så gælder også ombytningen

$$g(x)=f(x).$$

Ligninger beskriver jeg nærmere i artiklen Hvad er en ligning.

Addition

Det enkleste eksempel er at lægge et udtryk til begge sider af ligningen. Den ækvivalente omformning anvender vi altid på begge sider af ligningen. Vi har altså denne ligning:

$$x-3=1.$$

Denne ligning kan vi løse ved at lægge tallet tre til begge sider. Ved omformning af ligninger skriver vi sædvanligvis omformningen efter en skråstreg i den linje, hvor vi begyndte omformningen, sådan her

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Generelt kan vi skrive, at hvis vi igen har to funktioner f(x) og g(x), kan vi lægge en tredje funktion h(x) til dem uden at ændre ligningens løsninger.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Som du kan se, behøver vi ikke kun at lægge et tal til, vi kan også lægge en funktion til:

$$x=2x+6$$

Efter sædvane vil vi gerne have variablerne til venstre, og det opnår vi ved at lægge −2x til ligningen, eller rettere trække 2x fra.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Vi kan selvfølgelig også lægge brøker til, hvis det passer dig.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Vi lægger en halv til og har resultatet:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Addition til en ligning bruger du typisk, når du vil »flytte« et udtryk fra den ene side af ligningen over på den anden side. Hvis du har ligningen

$$3=2x+17,$$

hvordan får du så udtrykket med variablen, altså 2x, over på ligningens venstre side? Du lægger simpelthen −2x til hele ligningen. Så får du på ligningens højre side nul i stedet for 2x, fordi 2x − 2x = 0. Og på den anden side får vi −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Multiplikation

Ligningen kan vi også gange med en funktion. Den eneste betingelse er, at funktionen ikke må være nul. Vi kan ikke gange ligningen med nul eller med en funktion, der kan omformes til nul, for eksempel f(x) = x − x. Hvis vi altså har ligningen

$$3x=7,$$

kan vi gange den med to:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Det gav nok ikke den store mening; multiplikation bruges for eksempel, når du skal af med brøker:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Hvis vi ganger denne ligning med nævneren i brøken på højre side, forkortes udtrykket 5x pænt væk takket være brøkernes egenskaber.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Nu ganger vi brøken med udtrykket 5x, så 5x kommer ind i brøkens tæller, og derefter kan vi forkorte udtrykket 5x, for vi har det både i nævneren og i tælleren.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

I begyndelsen af dette afsnit sagde jeg, at vi ikke må gange med nul. Nu ganger vi med udtrykket 5x — men dette udtryk indeholder en variabel, og hvis vi indsætter nul for denne variabel, bliver hele udtrykket nul, og se, så ganger vi alligevel med nul. Hvad gør vi ved det?

Det løses ved at fastlægge de betingelser, under hvilke vi må foretage denne omformning. Her må vi altså skrive, at vi kun må gange med 5x under forudsætning af, at x er forskellig fra nul. Men lad os nu se på den ligning, vi ganger. Udtrykket 5x indgår allerede i den og står i brøkens nævner. Hvad betyder det? Vi kan ikke dividere med nul, så allerede definitionsmængden for funktionen $\frac{2}{5x}$ udelukker, at x er lig med nul.

Så endnu en gang — ligningen indeholder en brøk med udtrykket 5x i nævneren. Fordi vi ikke kan dividere med nul, giver ligningen kun mening under forudsætning af, at x er forskellig fra nul. Derfor kan vi uden bekymring gange hele ligningen med 5x, fordi de nødvendige betingelser allerede sikres af definitionsmængden for funktionen i nævneren.

Multiplikation med mere sammensatte udtryk

Nu en vigtig bemærkning: hvis vi ganger en ligning med et udtryk, skal vi altid gange hele højresiden og hele venstresiden. Tag for eksempel denne ligning:

$$x+2=x-4$$

Hvis vi ville gange den med to, skulle vi gange hele siderne, sådan her:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Det ville være en fejl ikke at skrive parenteserne, for så ville vi få et forkert resultat:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Du kan se, at resultatet er et andet end i det foregående tilfælde. Tilsvarende skal du gange hele ligningen, hvis du ganger med et mere sammensat udtryk. Som eksempel tager vi ligningen

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Denne ligning ganger vi med udtrykket x + 3 for at slippe af med variablen i nævneren på højre side.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Brøken har nu en form, hvor vi pænt kan forkorte den med udtrykket x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Nu kan vi gange venstre side af ligningen ud og til sidst trække to fra for at »flytte« to over på venstre side, så vi får nul på højre side.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Division

Ligesom vi kan gange en ligning, kan vi også dividere den. Med den samme begrænsning som ved multiplikation — vi må ikke dividere med nul. Division kan vi nemlig let omdanne til multiplikation. Hvis vi vil dividere ligningen med udtrykket w, er det det samme, som hvis vi ganger ligningen med brøken 1/w. Division bruges ofte i eksempler som dette:

$$12x=7$$

Det er en type ligning, vi ikke kan gøre meget andet ved end at dividere hele ligningen med tolv, hvorved vi får værdien af x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Det samme resultat ville vi få, hvis vi ganger ligningen med 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Opløftning i potens

Ved omformning af ligninger kan vi også bruge potenser, men med visse begrænsninger. Først genopfrisker vi vores viden om potenser. Gælder denne lighed?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Hvis du opløfter et tal i anden potens og derefter tager kvadratroden, får du så det oprindelige tal tilbage? Det er et lumsk spørgsmål, og svaret er, at det ikke altid er tilfældet. Forestil dig, at du indsætter et negativt tal for x, for eksempel minus tre:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Som du kan se, gælder ligningen pludselig ikke, for når vi kvadrerer et negativt tal, får vi et positivt tal. Men hvis vi tager kvadratroden af et positivt tal, får vi igen et positivt tal. Hvornår ville denne lighed gælde? Når vi ved, at vi kun arbejder med positive, eller rettere ikke-negative, tal. Vi kan altså tillade os at kvadrere ligningen, hvis vi ved, at vi arbejder med positive tal.

I geometri regner vi for eksempel ofte ligninger, der indeholder længder af linjestykker, og her kan vi uden bekymring også opløfte i potens, for en længde kan som sådan ikke være negativ. Også ved opløftning i potens og ved kvadratrod gælder reglen, at vi skal gøre det ved hele ligningen. Et eksempel:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Lad os antage, at vi kun bevæger os blandt positive tal, så vi kan tillade os at kvadrere hele ligningen:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Vi har fået en andengradsligning, som vi kan løse med de metoder, der er beskrevet i artiklen.

Hvordan skal vi løse en ligning, som du har brug for at kvadrere, men hvor du ikke kan være sikker på, om du kun bevæger dig blandt positive tal? Du kvadrerer den simpelthen og laver derefter prøve, for ved kvadreringen kan du få resultater, som ikke er løsninger til ligningen. Et eksempel:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Nu kvadrerer vi ligningen:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Igen får vi en andengradsligning, så vi løser den med en passende teknik, for eksempel ved faktorisering (den præcise fremgangsmåde står i den omtalte artikel):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Vi ser, at den ene løsning er 1 og den anden 4. Men vi ved, at vi har foretaget en ikke-ækvivalent omformning, så vi skal stadig lave prøve. Vi indsætter disse løsninger i den oprindelige ligning og undersøger, hvilke af dem der er løsninger til den oprindelige ligning. Først indsætter vi 1:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Ved prøven har vi fundet ud af, at 1 ikke er en løsning til den oprindelige ligning. Hvad med 4?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Tallet 4 er en løsning til den oprindelige ligning, og vi har fundet resultatet.