Transformaciones equivalentes de ecuaciones

Al transformar ecuaciones usamos transformaciones equivalentes, que se caracterizan por no cambiar la validez de la ecuación. El objetivo de las transformaciones equivalentes es llevar la ecuación a una forma más sencilla, de la que ya podamos calcular el resultado.

Qué es una ecuación

Primero, brevemente, qué es una ecuación y cómo la vamos a escribir. Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), podemos igualarlas y obtener una ecuación:

$f (x) = g (x)$

En este caso llamamos a f(x) primer miembro de la ecuación y a g(x), segundo miembro. En lugar de las funciones abstractas f(x) y g(x) podemos imaginar funciones concretas, por ejemplo f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Entonces la ecuación sería así:

$3 x = x + 2$

La solución de la ecuación es entonces un conjunto (por ejemplo) S, tal que para cada x del conjunto S la ecuación sigue cumpliéndose al sustituir. Así, la solución de la ecuación de ejemplo sería el conjunto

$S = {1} .$

Al sustituir en la ecuación obtenemos

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Una transformación equivalente de una ecuación es, pues, una transformación que no cambia la validez de la ecuación. Es decir, sería una transformación equivalente aquella en la que de la función f(x) obtuviéramos la función f₁(x) y con la misma transformación de la función g(x) obtuviéramos g₁(x) y, aun así, siguiera cumpliéndose la igualdad

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

La primera y más sencilla transformación equivalente de ecuaciones (¡no de inecuaciones!) es intercambiar el primer y el segundo miembro. Seguramente es evidente que si se cumple

$f (x) = g (x),$

también se cumplirá la igualdad con los miembros intercambiados

$g (x) = f (x) .$

Dedico más espacio a las ecuaciones en el artículo Qué es una ecuación.

Sumar

El ejemplo más sencillo es sumar una expresión a ambos miembros de la ecuación. La transformación equivalente la aplicamos siempre a ambos miembros de la ecuación. Tomemos, pues, esta ecuación:

$x - 3 = 1.$

Podemos resolver esta ecuación sumando el número tres a ambos miembros. Al transformar ecuaciones, la transformación suele escribirse tras la barra en la línea donde hemos empezado a transformar, así

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

En general podemos escribir que, si tenemos de nuevo dos funciones f(x) y g(x), podemos sumarles una tercera función h(x) sin cambiar la validez de la ecuación.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Como ves, no tenemos que sumar solo un número, también podemos sumar una función:

$x = 2 x + 6$

Por costumbre queremos las variables a la izquierda, lo cual conseguimos sumando a la ecuación −2x, o sea, restando 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Por supuesto, también podemos sumar fracciones, si te conviene.

$x - \frac{1}{2} = 471$

Sumamos un medio y tenemos el resultado:

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

Lo típico es sumar a la ecuación cuando quieres «pasar» una expresión de un miembro de la ecuación al otro. Si tienes la ecuación

$3 = 2 x + 17,$

¿cómo llevas la expresión con la variable, es decir, 2x, al primer miembro de la ecuación? Sencillamente, sumas −2x a toda la ecuación. Así obtienes en el segundo miembro, en lugar de 2x, un cero, porque 2x − 2x = 0. Y en el otro miembro obtenemos −2x:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Multiplicar

También podemos multiplicar la ecuación por una función. La única condición es que esa función no sea nula. No podemos multiplicar la ecuación por cero, ni por una función que pueda transformarse en cero, por ejemplo f(x) = x − x. Así que si tenemos la ecuación

$3 x = 7,$

podemos multiplicarla por dos:

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Esto probablemente no tenía mucho sentido; multiplicar se usa, por ejemplo, cuando necesitas quitar fracciones:

$3 = \frac{2}{5 x}$

Si multiplicamos esta ecuación por el denominador de la fracción del segundo miembro, la expresión 5x se simplifica estupendamente gracias a las propiedades de las fracciones.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Ahora multiplicamos la fracción por la expresión 5x, con lo que 5x pasa al numerador de la fracción y a continuación podemos simplificar la expresión 5x, porque la tenemos tanto en el denominador como en el numerador.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

Al principio de este apartado he dicho que no podemos multiplicar por cero. Ahora hemos multiplicado por la expresión 5x, pero esta expresión contiene una variable y, si sustituimos esa variable por cero, la expresión entera vale cero y, vaya, ya estamos multiplicando por cero. ¿Qué hacemos?

Se resuelve determinando las condiciones bajo las cuales podemos hacer esta transformación. En este momento tendríamos que escribir que podemos multiplicar por 5x solo si x es distinto de cero. Pero ahora fijémonos todavía en la ecuación que hemos multiplicado. La expresión 5x ya está contenida en ella y está en el denominador de una fracción. ¿Qué significa eso? No podemos dividir entre cero, así que el propio dominio de la función $\frac{2}{5 x}$ excluye que x sea igual a cero.

Así que, una vez más: la ecuación contiene una fracción con la expresión 5x en el denominador. Como no podemos dividir entre cero, la ecuación tiene sentido solo si x es distinto de cero. Por eso podemos multiplicar sin preocuparnos toda la ecuación por 5x, porque las condiciones necesarias ya las garantiza el dominio de la función del denominador.

Multiplicar por expresiones más complicadas

Ahora una observación importante: si multiplicamos la ecuación por una expresión, siempre debemos multiplicar todo el segundo miembro y todo el primer miembro. Como ejemplo, tomemos esta ecuación:

$x + 2 = x - 4$

Si quisiéramos multiplicarla por dos, tendríamos que multiplicar los miembros enteros, así:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

Sería un error no escribir los paréntesis, porque obtendríamos un resultado erróneo:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Ves que el resultado es distinto del caso anterior. Del mismo modo, si multiplicas por una expresión más complicada, debes multiplicar la ecuación entera. Como ejemplo, tomamos la ecuación

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Multiplicamos esta ecuación por la expresión x + 3 para quitar la variable del denominador en el segundo miembro.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

Tenemos la fracción en una forma en la que podemos simplificarla estupendamente por la expresión x + 3:

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Ahora podemos quitar los paréntesis del primer miembro y, por último, restar el dos para «pasar» el dos al primer miembro, con lo que obtenemos un cero en el segundo.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Dividir

Igual que podemos multiplicar la ecuación, también podemos dividirla. Con la misma restricción que en la multiplicación: no podemos dividir entre cero. Y es que la división se puede convertir fácilmente en multiplicación. Si queremos dividir la ecuación entre la expresión w, será lo mismo que multiplicar la ecuación por la fracción 1/w. Dividir se usa a menudo en ejemplos como este:

$12 x = 7$

Este es un tipo de ecuación con la que ya no podemos hacer mucho más; lo único es dividir la ecuación entera entre doce, con lo que obtenemos el valor de x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Obtendríamos el mismo resultado si multiplicáramos la ecuación por 1/12:

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Elevar a una potencia

Al transformar ecuaciones también podemos usar potencias, pero con ciertas restricciones. Primero refresquemos lo que sabemos de potencias. ¿Se cumple esta igualdad?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Si elevas un número al cuadrado y a continuación calculas la raíz cuadrada, ¿obtienes de nuevo el número original? Es una pregunta traicionera y la respuesta es que no siempre. Imagina que sustituyes x por un número negativo, por ejemplo menos tres:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Como ves, la igualdad de repente no se cumple, porque cuando elevamos al cuadrado un número negativo, obtenemos un número positivo. Pero si luego calculamos la raíz de un número positivo, obtenemos de nuevo un número positivo. ¿Cuándo se cumpliría esta igualdad? Cuando sabemos que trabajamos solo con números positivos, o más bien no negativos. Podemos permitirnos elevar la ecuación a una potencia si sabemos que trabajamos con números positivos.

Por ejemplo, en geometría resolvemos a menudo ecuaciones que contienen longitudes de segmentos y en ese caso podemos elevar a una potencia sin miedo, porque una longitud como tal no puede ser negativa. También al elevar a una potencia o al extraer una raíz rige la regla de que hay que elevar la ecuación entera. Veamos un ejemplo:

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Supongamos que trabajamos solo con números positivos; por eso podemos permitirnos elevar toda la ecuación al cuadrado:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Hemos obtenido una ecuación de segundo grado, que podemos resolver con los métodos descritos en el artículo.

¿Cómo se resolvería una ecuación que necesitas elevar al cuadrado pero en la que no puedes estar seguro de que trabajas solo con números positivos? Sencillamente la elevas al cuadrado y después haces la comprobación, porque al elevar al cuadrado puedes obtener resultados que no son soluciones correctas de la ecuación. Veamos un ejemplo:

$\sqrt{x} = x - 2$

Ahora elevamos la ecuación al cuadrado:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

De nuevo obtenemos una ecuación de segundo grado, así que la resolvemos con alguna técnica adecuada, por ejemplo por factorización (el procedimiento exacto está en el artículo enlazado):

$(x - 1) (x - 4) = 0$

Vemos que un resultado es 1 y el otro, 4. Pero sabemos que hemos hecho una transformación no equivalente, así que todavía tenemos que hacer la comprobación. Sustituimos estas soluciones en la ecuación original y averiguamos cuál de esos resultados es una solución válida de la ecuación original. Primero sustituimos el uno:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

Con la comprobación hemos averiguado que el uno no es solución de la ecuación original. ¿Y el cuatro?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

El cuatro es solución de la ecuación original, hemos encontrado el resultado.

Capítulos: Transformaciones equivalentes de ecuaciones, Transformaciones equivalentes de inecuaciones

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