Transformations équivalentes des équations

Pour transformer des équations, on utilise des transformations équivalentes, qui ont la propriété de ne pas modifier la validité de l’équation. Leur but est de ramener l’équation à une forme plus simple, à partir de laquelle on peut calculer le résultat.

Qu’est-ce qu’une équation

Commençons brièvement par ce qu’est une équation et par la façon dont nous l’écrirons. Si nous disposons de deux fonctions f(x) et g(x), nous pouvons les mettre en égalité et obtenir une équation :

$f (x) = g (x)$

Dans ce cas, nous appelons f(x) le membre de gauche et g(x) le membre de droite. Pour les fonctions abstraites f(x) et g(x), on peut imaginer des fonctions concrètes, par exemple f(x) = 3x et g(x) = x + 2. L’équation serait alors :

$3 x = x + 2$

L’ensemble des solutions de l’équation est alors un ensemble, noté par exemple S, tel que, pour chaque x de l’ensemble S, l’équation reste vraie après substitution dans celle-ci. La solution de l’équation d’exemple est donc l’ensemble

$S = {1} .$

En substituant, on obtient

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

Une transformation équivalente de l’équation est une transformation qui ne modifie pas la validité de l’équation. Ainsi, une transformation équivalente transformerait la fonction f(x) en une fonction f₁(x) et, de la même manière, g(x) en g₁(x), tout en conservant l’égalité

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

La première et la plus simple des transformations équivalentes d’équations (et non d’inéquations !) est l’échange du membre de gauche et du membre de droite. Il est assez évident que si l’on a

$f (x) = g (x),$

alors l’échange donne aussi

$g (x) = f (x) .$

Nous consacrons davantage d’explications aux équations dans l’article Qu’est-ce qu’une équation.

Addition

Le cas le plus simple est l’addition d’une expression aux deux membres de l’équation. On applique toujours la transformation équivalente aux deux membres. Considérons donc l’équation :

$x - 3 = 1.$

On peut la résoudre en ajoutant le nombre trois aux deux membres. Pour les transformations d’équations, on note en général l’opération à droite d’une barre oblique, sur la ligne où l’on commence la transformation, comme ceci :

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

De manière générale, si nous disposons à nouveau de deux fonctions f(x) et g(x), nous pouvons leur ajouter une troisième fonction h(x) sans modifier la validité de l’équation.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

Comme on le voit, on peut ajouter non seulement un nombre, mais aussi une fonction :

$x = 2 x + 6$

Par convention, on souhaite avoir les variables à gauche, ce que l’on obtient en ajoutant −2x à l’équation, autrement dit en soustrayant 2x.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

Tu peux bien sûr aussi additionner des fractions, si cela te convient.

$x - \frac{1}{2} = 471$

On ajoute un demi et on obtient le résultat :

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471, 5 \end{array}$

L’addition à une équation sert classiquement à « faire passer » une expression d’un membre de l’équation à l’autre. Si tu as l’équation

$3 = 2 x + 17,$

comment amener le terme contenant la variable, c’est-à-dire 2x, dans le membre de gauche ? Tu ajoutes simplement −2x à toute l’équation. Ainsi, à droite, 2x devient zéro, car 2x − 2x = 0 ; de l’autre côté, on obtient −2x :

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

Multiplication

On peut également multiplier une équation par une fonction. La seule condition est que cette fonction ne soit pas nulle. On ne peut pas multiplier une équation par zéro, ni par une fonction qui se réduit à zéro, par exemple f(x) = x − x. Si nous avons l’équation

$3 x = 7,$

nous pouvons la multiplier par deux :

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

Cela n’a pas beaucoup de sens en soi ; la multiplication sert par exemple lorsqu’on veut se débarrasser de fractions :

$3 = \frac{2}{5 x}$

Si l’on multiplie cette équation par le dénominateur de la fraction du membre de droite, l’expression 5x se simplifie grâce aux propriétés des fractions.

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

Multiplions maintenant la fraction par l’expression 5x : 5x se retrouve au numérateur, et l’on peut alors simplifier 5x, puisqu’il figure à la fois au numérateur et au dénominateur.

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

Au début de cette partie, j’ai indiqué qu’on ne doit pas multiplier par zéro. Or nous venons de multiplier par l’expression 5x ; cette expression contient une variable, et si l’on remplace cette variable par zéro, toute l’expression vaut zéro, et l’on multiplie donc bien par zéro. Que faire ?

On détermine les conditions dans lesquelles cette transformation peut être effectuée. Il faut ici écrire que nous ne pouvons multiplier par 5x que si x est différent de zéro. Regardons encore l’équation que nous avons multipliée : l’expression 5x y figure déjà, au dénominateur de la fraction. Qu’est-ce que cela signifie ? On ne peut pas diviser par zéro, donc le domaine de définition de la fonction $\frac{2}{5 x}$ exclut déjà que x soit égal à zéro.

Une fois encore : l’équation contient une fraction dont le dénominateur est 5x. Comme on ne peut pas diviser par zéro, l’équation n’a de sens que si x est différent de zéro. C’est pourquoi nous pouvons multiplier toute l’équation par 5x sans crainte, puisque les conditions nécessaires sont déjà garanties par le domaine de définition de la fonction au dénominateur.

Multiplication par des expressions plus complexes

Une remarque importante : lorsqu’on multiplie une équation par une expression, il faut toujours multiplier le membre de gauche et le membre de droite en entier. Prenons l’équation

$x + 2 = x - 4$

Si on veut la multiplier par deux, il faut multiplier les deux membres en entier :

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

L’erreur serait de ne pas écrire ces parenthèses, car on obtiendrait un résultat faux :

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

Tu vois que le résultat est différent du précédent. De même, lorsqu’on multiplie par une expression plus complexe, il faut multiplier toute l’équation. Prenons l’équation

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

Multiplions cette équation par l’expression x + 3, afin de nous débarrasser de la variable au dénominateur du membre de droite.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

La fraction se présente maintenant sous une forme qui permet de la simplifier facilement par l’expression x + 3 :

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

Il reste à développer le membre de gauche, puis à soustraire deux pour « faire passer » le deux dans le membre de gauche, ce qui donne zéro à droite :

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

Division

De même que l’on peut multiplier une équation, on peut aussi la diviser, avec la même restriction que pour la multiplication : on ne peut pas diviser par zéro. La division se ramène en effet facilement à une multiplication. Si l’on souhaite diviser une équation par une expression w, cela revient à la multiplier par la fraction 1/w. La division apparaît souvent dans des exemples comme celui-ci :

$12 x = 7$

Ce type d’équation n’offre pas grand-chose d’autre : il suffit de diviser toute l’équation par douze pour obtenir la valeur de x.

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / : 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

On obtiendrait le même résultat en multipliant l’équation par 1/12 :

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

Élévation à une puissance

Lors de la transformation d’équations, on peut utiliser les puissances, mais avec certaines restrictions. Rappelons d’abord les connaissances sur les puissances. Cette égalité est-elle vraie ?

$\sqrt{x^{2}} = x$

Si l’on élève un nombre au carré puis qu’on en prend la racine carrée, retrouve-t-on le nombre de départ ? C’est une question piège, et la réponse est : pas toujours. Imaginons qu’on substitue à x un nombre négatif, par exemple moins trois :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

Comme on le voit, l’égalité ne tient plus : élever un nombre négatif au carré donne un nombre positif. Mais si l’on prend ensuite la racine carrée d’un nombre positif, on obtient à nouveau un nombre positif. Quand cette égalité serait-elle vraie ? Lorsque nous ne travaillons qu’avec des nombres positifs ou nuls. On peut donc se permettre d’élever une équation au carré lorsqu’on sait qu’on travaille avec des nombres positifs.

Par exemple en géométrie, on calcule souvent des équations qui contiennent des longueurs de segments ; on peut alors élever au carré sans crainte, car une longueur ne peut pas être négative. Lors d’une élévation au carré ou d’une extraction de racine, il faut aussi appliquer l’opération à l’équation entière. Prenons l’exemple :

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

Supposons que nous ne travaillions qu’avec des nombres positifs ; on peut donc élever toute l’équation au carré :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

Nous obtenons une équation du second degré, que l’on peut résoudre à l’aide des méthodes décrites dans l’article correspondant.

Comment résoudre une équation qu’il faut élever au carré, sans être certain de travailler uniquement avec des nombres positifs ? On l’élève simplement au carré, puis on effectue une vérification, car l’élévation au carré peut produire des résultats qui ne sont pas des solutions de l’équation. Prenons l’exemple :

$\sqrt{x} = x - 2$

Élevons l’équation au carré :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

Nous obtenons à nouveau une équation du second degré, que l’on résout par une technique appropriée, par exemple par factorisation (la méthode précise figure dans l’article cité plus haut) :

$(x - 1) (x - 4) = 0$

On voit qu’une solution vaut 1 et l’autre 4. Or nous savons que nous avons effectué une transformation non équivalente, il faut donc encore vérifier. Substituons ces solutions dans l’équation initiale et voyons laquelle est une solution valable de l’équation d’origine. Commençons par le un :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

La vérification montre que 1 n’est pas solution de l’équation initiale. Et quatre ?

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

Quatre est une solution de l’équation initiale : nous avons trouvé le résultat.

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