Ισοδύναμες μετατροπές εξισώσεων

Όταν μετασχηματίζουμε εξισώσεις, χρησιμοποιούμε ισοδύναμες μετατροπές, που χαρακτηρίζονται από το ότι δεν αλλάζουν την ισχύ της εξίσωσης. Σκοπός των ισοδύναμων μετατροπών είναι να φέρουμε την εξίσωση σε μια απλούστερη μορφή, από την οποία μπορούμε πια να υπολογίσουμε το αποτέλεσμα της εξίσωσης.

Τι είναι η εξίσωση

Πρώτα εν συντομία τι είναι η εξίσωση και πώς θα τη γράφουμε. Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f(x) και g(x), μπορούμε να τις εξισώσουμε και να πάρουμε μια εξίσωση:

$$f(x)=g(x)$$

Σε αυτή την περίπτωση το f(x) ονομάζεται πρώτο μέλος της εξίσωσης και το g(x) δεύτερο μέλος. Στη θέση των αφηρημένων συναρτήσεων f(x) και g(x) μπορούμε να φανταστούμε συγκεκριμένες συναρτήσεις, για παράδειγμα f(x) = 3x και g(x) = x + 2. Τότε η εξίσωση θα έμοιαζε έτσι:

$$3x=x+2$$

Λύση της εξίσωσης είναι τότε ένα σύνολο (για παράδειγμα) S, όπου για κάθε x του συνόλου S ισχύει ότι, μετά την αντικατάσταση στην εξίσωση, η εξίσωση εξακολουθεί να ισχύει. Λύση της παραδειγματικής εξίσωσης θα ήταν λοιπόν το σύνολο

$$S=\left\{1\right\}.$$

Μετά την αντικατάσταση στην εξίσωση παίρνουμε

$$3\cdot 1=1+2$$

Ισοδύναμη μετατροπή της εξίσωσης είναι τότε μια μετατροπή που δεν αλλάζει την ισχύ της. Δηλαδή ισοδύναμη μετατροπή θα ήταν αυτή όπου από τη συνάρτηση f(x) παίρνουμε τη συνάρτηση f₁(x) και με την ίδια μετατροπή από τη συνάρτηση g(x) παίρνουμε τη g₁(x) και παρ' όλα αυτά εξακολουθεί να ισχύει η ισότητα

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Η πρώτη και απλούστερη ισοδύναμη μετατροπή των εξισώσεων (όχι των ανισώσεων!) είναι η εναλλαγή του πρώτου και του δεύτερου μέλους. Είναι μάλλον προφανές ότι αν ισχύει

$$f(x)=g(x),$$

τότε θα ισχύει και η εναλλαγή τους

$$g(x)=f(x).$$

Περισσότερα για τις εξισώσεις γράφω στο άρθρο Τι είναι η εξίσωση.

Πρόσθεση

Το απλούστερο παράδειγμα είναι η πρόσθεση μιας παράστασης και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Την ισοδύναμη μετατροπή την εφαρμόζουμε πάντα και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Ας πάρουμε λοιπόν αυτή την εξίσωση:

$$x-3=1.$$

Αυτή την εξίσωση μπορούμε να τη λύσουμε προσθέτοντας και στα δύο μέλη τον αριθμό τρία. Όταν μετασχηματίζουμε εξισώσεις, τη μετατροπή τη γράφουμε συνήθως μετά από πλάγια γραμμή στη γραμμή όπου ξεκινήσαμε τη μετατροπή, έτσι

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Γενικά μπορούμε να γράψουμε ότι, αν έχουμε πάλι δύο συναρτήσεις f(x) και g(x), μπορούμε να προσθέσουμε σε αυτές μια τρίτη συνάρτηση h(x) χωρίς να αλλάξει η ισχύς της εξίσωσης.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Όπως βλέπεις, δεν χρειάζεται να προσθέτουμε μόνο αριθμό, μπορούμε να προσθέτουμε και συνάρτηση:

$$x=2x+6$$

Κατά τη συνήθεια θέλουμε τις μεταβλητές αριστερά, κάτι που το πετυχαίνουμε προσθέτοντας στην εξίσωση −2x, δηλαδή αφαιρώντας 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Μπορούμε φυσικά να προσθέτουμε και κλάσματα, αν σε βολεύει.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Προσθέτουμε το ένα δεύτερο και έχουμε το αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Την πρόσθεση στην εξίσωση τη χρησιμοποιείς κλασικά όταν θέλεις να «περάσεις» μια παράσταση από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο. Αν έχεις την εξίσωση

$$3=2x+17,$$

πώς θα φέρεις την παράσταση με τη μεταβλητή, δηλαδή το 2x, στο πρώτο μέλος της εξίσωσης; Απλά προσθέτεις σε ολόκληρη την εξίσωση το −2x. Έτσι στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης παίρνεις αντί για 2x μηδέν, επειδή 2x − 2x = 0. Και στο άλλο μέλος παίρνουμε −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Πολλαπλασιασμός

Την εξίσωση μπορούμε επίσης να την πολλαπλασιάσουμε με κάποια συνάρτηση. Η μόνη προϋπόθεση είναι ότι η συνάρτηση αυτή δεν πρέπει να είναι μηδέν. Δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με μηδέν ούτε με συνάρτηση που θα μπορούσε να απλοποιηθεί σε μηδέν, για παράδειγμα f(x) = x − x. Αν λοιπόν έχουμε την εξίσωση

$$3x=7,$$

μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε με το δύο:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Αυτό μάλλον δεν είχε και πολύ νόημα. Ο πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, όταν θέλεις να απαλλαγείς από κλάσματα:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Αν πολλαπλασιάσουμε αυτή την εξίσωση με τον παρονομαστή του κλάσματος στο δεύτερο μέλος, η παράσταση 5x απλοποιείται υπέροχα χάρη στις ιδιότητες των κλασμάτων.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με την παράσταση 5x, οπότε το 5x πηγαίνει στον αριθμητή του κλάσματος και μετά μπορούμε να απλοποιήσουμε την παράσταση 5x, επειδή την έχουμε και στον παρονομαστή και στον αριθμητή.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Στην αρχή αυτής της ενότητας είπα ότι δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάζουμε με μηδέν. Τώρα πολλαπλασιάσαμε με την παράσταση 5x – όμως αυτή η παράσταση περιέχει μεταβλητή και αν αντικαταστήσουμε σε αυτή τη μεταβλητή το μηδέν, βγαίνει μηδέν ολόκληρη η παράσταση και να που ήδη πολλαπλασιάζουμε με μηδέν. Τι κάνουμε;

Αυτό λύνεται ορίζοντας τους περιορισμούς υπό τους οποίους μπορούμε να κάνουμε αυτή τη μετατροπή. Αυτή τη στιγμή πρέπει λοιπόν να γράψουμε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με 5x μόνο με την προϋπόθεση ότι το x θα είναι διάφορο του μηδενός. Αλλά ας κοιτάξουμε τώρα και την εξίσωση που πολλαπλασιάσαμε. Η παράσταση 5x περιέχεται ήδη εκεί και βρίσκεται στον παρονομαστή του κλάσματος. Τι σημαίνει αυτό; Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\frac{2}{5x}$ αποκλείει ήδη από μόνο του να είναι το x ίσο με μηδέν.

Ξανά λοιπόν – η εξίσωση περιέχει κλάσμα με την παράσταση 5x στον παρονομαστή. Επειδή δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, η εξίσωση έχει νόημα μόνο με την προϋπόθεση ότι το x είναι διάφορο του μηδενός. Γι' αυτό μπορούμε άφοβα να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με 5x, επειδή τους απαραίτητους περιορισμούς τούς εξασφαλίζει ήδη το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός με πιο σύνθετες παραστάσεις

Τώρα μια σημαντική παρατήρηση: αν πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με κάποια παράσταση, πρέπει πάντα να πολλαπλασιάζουμε ολόκληρο το δεύτερο μέλος και ολόκληρο το πρώτο μέλος. Ας πάρουμε για παράδειγμα αυτή την εξίσωση:

$$x+2=x-4$$

Αν θέλαμε να την πολλαπλασιάσουμε με το δύο, θα έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρα τα μέλη, έτσι:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Λάθος θα ήταν να μη γράψουμε τις παρενθέσεις, επειδή θα παίρναμε λανθασμένο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Βλέπεις ότι το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από την προηγούμενη περίπτωση. Παρόμοια, αν πολλαπλασιάζεις με πιο σύνθετη παράσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσεις ολόκληρη την εξίσωση. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την εξίσωση

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Αυτή την εξίσωση την πολλαπλασιάζουμε με την παράσταση x + 3, για να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή στον παρονομαστή του δεύτερου μέλους.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Το κλάσμα το έχουμε σε μορφή που μπορούμε να το απλοποιήσουμε ωραία με την παράσταση x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Τώρα μπορούμε ακόμα να κάνουμε επιμερισμό στο πρώτο μέλος της εξίσωσης και στο τέλος να αφαιρέσουμε το δύο, για να «μεταφέρουμε» το δύο στο πρώτο μέλος, οπότε παίρνουμε στο δεύτερο μέλος μηδέν.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Διαίρεση

Όπως μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση, μπορούμε και να τη διαιρούμε. Με τον ίδιο περιορισμό όπως στον πολλαπλασιασμό – δεν επιτρέπεται να διαιρούμε με το μηδέν. Η διαίρεση μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε πολλαπλασιασμό. Αν θέλουμε να διαιρέσουμε την εξίσωση με την παράσταση w, θα είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζαμε την εξίσωση με το κλάσμα 1/w. Η διαίρεση χρησιμοποιείται συχνά σε παραδείγματα όπως αυτό:

$$12x=7$$

Αυτός είναι ένας τύπος εξίσωσης με την οποία δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά, μπορούμε μόνο να διαιρέσουμε ολόκληρη την εξίσωση με το δώδεκα, οπότε παίρνουμε την τιμή του x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Το ίδιο αποτέλεσμα θα παίρναμε αν πολλαπλασιάζαμε την εξίσωση με 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Ύψωση σε δύναμη

Στις μετατροπές των εξισώσεων μπορούμε να χρησιμοποιούμε και δυνάμεις, αλλά με ορισμένους περιορισμούς. Πρώτα ας θυμηθούμε τις γνώσεις μας για τις δυνάμεις. Ισχύει αυτή η ισότητα;

$$\sqrt{x^2}=x$$

Αν υψώσεις κάποιον αριθμό στο τετράγωνο και μετά πάρεις την τετραγωνική ρίζα, παίρνεις πίσω τον αρχικό αριθμό; Αυτή είναι ύπουλη ερώτηση και η απάντηση είναι ότι όχι πάντα. Φαντάσου ότι αντικαθιστάς στο x έναν αρνητικό αριθμό, για παράδειγμα το μείον τρία:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Όπως βλέπεις, η ισότητα ξαφνικά δεν ισχύει, επειδή όταν υψώσουμε έναν αρνητικό αριθμό στο τετράγωνο, παίρνουμε θετικό αριθμό. Αν όμως πάρουμε πάλι τη ρίζα ενός θετικού αριθμού, παίρνουμε πάλι θετικό αριθμό. Πότε θα ίσχυε αυτή η ισότητα; Όταν ξέρουμε ότι δουλεύουμε μόνο με θετικούς, ή μάλλον με μη αρνητικούς, αριθμούς. Την εξίσωση μπορούμε λοιπόν να την υψώσουμε στο τετράγωνο όταν ξέρουμε ότι δουλεύουμε με θετικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα, στη γεωμετρία συχνά λύνουμε εξισώσεις που περιέχουν μήκη κάποιων ευθυγράμμων τμημάτων και τότε μπορούμε άφοβα να υψώνουμε και σε δύναμη, επειδή το μήκος ως τέτοιο δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Και στην ύψωση σε δύναμη ή στην εξαγωγή ρίζας ισχύει ο κανόνας ότι πρέπει να υψώσουμε ολόκληρη την εξίσωση. Ένα παράδειγμα:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Ας υποθέσουμε ότι κινούμαστε μόνο στους θετικούς αριθμούς, γι' αυτό μπορούμε να υψώσουμε ολόκληρη την εξίσωση στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Πήραμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, την οποία μπορούμε να λύσουμε με τις μεθόδους που περιγράφονται στο άρθρο.

Πώς θα λυνόταν μια εξίσωση που πρέπει να την υψώσεις στο τετράγωνο, αλλά δεν μπορείς να είσαι σίγουρος αν κινείσαι μόνο στους θετικούς αριθμούς; Απλά την υψώνεις και μετά κάνεις επαλήθευση, επειδή με την ύψωση μπορεί να προκύψουν αποτελέσματα που δεν είναι σωστά αποτελέσματα της εξίσωσης. Ένα παράδειγμα:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Την εξίσωση τώρα την υψώνουμε στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Πάλι παίρνουμε εξίσωση δευτέρου βαθμού, οπότε τη λύνουμε με κάποια κατάλληλη τεχνική, για παράδειγμα με παραγοντοποίηση (η ακριβής διαδικασία είναι στο άρθρο στο οποίο παραπέμπει ο σύνδεσμος):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Βλέπουμε ότι το ένα αποτέλεσμα είναι 1 και το άλλο 4. Ξέρουμε όμως ότι κάναμε μη ισοδύναμη μετατροπή, οπότε πρέπει ακόμα να κάνουμε επαλήθευση. Αντικαθιστούμε αυτές τις λύσεις στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ποιο από αυτά τα αποτελέσματα είναι έγκυρο αποτέλεσμα της αρχικής εξίσωσης. Πρώτα αντικαθιστούμε το ένα:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Με την επαλήθευση βρήκαμε ότι το ένα δεν είναι λύση της αρχικής εξίσωσης. Και το τέσσερα;

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Το τέσσερα είναι λύση της αρχικής εξίσωσης, βρήκαμε το αποτέλεσμα.