Ekvivalente omforminger av likninger

Når vi omformer likninger, bruker vi ekvivalente omforminger, som er kjennetegnet av at de ikke endrer løsningene til likningen. Poenget med ekvivalente omforminger er å få likningen over på en enklere form, som vi kan regne ut svaret fra.

Hva er en likning

Først en kort påminnelse om hva en likning er og hvordan vi skriver den. Hvis vi har to funksjoner f(x) og g(x), kan vi sette dem lik hverandre og få en likning:

$$f(x)=g(x)$$

Her kaller vi f(x) venstre side av likningen og g(x) høyre side. For de abstrakte funksjonene f(x) og g(x) kan vi tenke oss konkrete funksjoner, for eksempel f(x) = 3x og g(x) = x + 2. Da ser likningen slik ut:

$$3x=x+2$$

Løsningen av likningen er en mengde (for eksempel) L, der likningen stemmer når vi setter inn hvilken som helst x fra mengden L. Løsningsmengden til eksempellikningen er dermed

$$L=\left\{1\right\}.$$

Når vi setter inn i likningen, får vi

$$3\cdot 1=1+2$$

En ekvivalent omforming av en likning er en omforming som ikke endrer løsningene. Det vil si at vi får funksjonen f₁(x) fra funksjonen f(x), og med den samme omformingen får vi g₁(x) fra g(x), og likheten

$$f_1(x)=g_1(x)$$

gjelder fortsatt.

Den første og enkleste ekvivalente omformingen av likninger (ikke ulikheter!) er å bytte venstre og høyre side. Det er nokså åpenbart at hvis

$$f(x)=g(x),$$

så gjelder også den ombyttede likningen

$$g(x)=f(x).$$

Jeg skriver mer om likninger i artikkelen Hva er en likning.

Addisjon

Det enkleste eksemplet er å legge til et uttrykk på begge sider av likningen. Vi bruker alltid en ekvivalent omforming på begge sider av likningen. La oss ta denne likningen:

$$x-3=1.$$

Vi kan løse likningen ved å legge til tallet tre på begge sider. Når vi omformer likninger, skriver vi vanligvis omformingen etter en skråstrek på linjen der vi begynte omformingen, slik:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Generelt kan vi skrive at hvis vi igjen har to funksjoner f(x) og g(x), kan vi legge til en tredje funksjon h(x) uten å endre løsningene til likningen.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Som du ser, trenger vi ikke bare legge til et tall, vi kan også legge til en funksjon:

$$x=2x+6$$

Etter vanen vil vi ha variablene til venstre, og det oppnår vi ved å legge −2x til likningen, eller med andre ord trekke fra 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Vi kan selvfølgelig også legge til brøker hvis det passer.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Vi legger til en halv og har svaret:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Addisjon i likninger bruker du typisk når du vil «flytte» et uttrykk fra den ene siden av likningen til den andre. Hvis du har likningen

$$3=2x+17,$$

hvordan får du uttrykket med variabelen, altså 2x, over på venstre side av likningen? Du legger rett og slett −2x til hele likningen. Da får du null på høyre side i stedet for 2x, fordi 2x − 2x = 0. På den andre siden får vi −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Multiplikasjon

Vi kan også gange likningen med en funksjon. Den eneste betingelsen er at funksjonen ikke må være null. Vi kan ikke gange likningen med null, og heller ikke med en funksjon som kan skrives om til null, for eksempel f(x) = x − x. Hvis vi har likningen

$$3x=7,$$

kan vi gange den med to:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Dette ga kanskje ikke så mye mening. Multiplikasjon bruker vi for eksempel når vi vil bli kvitt brøker:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Hvis vi ganger denne likningen med nevneren i brøken på høyre side, forkortes uttrykket 5x fint på grunn av reglene for brøker.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Nå ganger vi brøken med uttrykket 5x, slik at 5x havner i telleren, og så kan vi forkorte bort 5x, siden vi har det både i nevneren og i telleren.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

I begynnelsen av dette avsnittet sa jeg at vi ikke kan gange med null. Nå ganget vi med uttrykket 5x — men dette uttrykket inneholder en variabel, og hvis vi setter inn null for variabelen, blir hele uttrykket null, og vips ganger vi med null. Hva gjør vi med det?

Det løser vi ved å fastsette betingelsene for at vi kan gjøre denne omformingen. Vi må altså skrive at vi bare kan gange med 5x under forutsetning av at x er forskjellig fra null. Men la oss se på likningen vi ganget. Uttrykket 5x står allerede der, i nevneren til brøken. Hva betyr det? Vi kan ikke dele på null, så selve definisjonsmengden til funksjonen $\frac{2}{5x}$ utelukker at x er lik null.

Altså en gang til — likningen inneholder en brøk med uttrykket 5x i nevneren. Siden vi ikke kan dele på null, har likningen bare mening hvis x er forskjellig fra null. Derfor kan vi trygt gange hele likningen med 5x, fordi definisjonsmengden til funksjonen i nevneren allerede sørger for de nødvendige betingelsene.

Multiplikasjon med mer sammensatte uttrykk

Nå en viktig merknad: Når vi ganger likningen med et uttrykk, må vi alltid gange hele høyre side og hele venstre side. Ta denne likningen som eksempel:

$$x+2=x-4$$

Hvis vi vil gange den med to, må vi gange hele sidene, slik:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Det ville være en feil å utelate parentesene, for da får vi et galt resultat:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Du ser at resultatet er et annet enn i det forrige tilfellet. På tilsvarende måte må du gange hele likningen hvis du ganger med et mer sammensatt uttrykk. Ta likningen

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Denne likningen ganger vi med uttrykket x + 3 for å bli kvitt variabelen i nevneren på høyre side.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Brøken har nå en form der vi fint kan forkorte den med uttrykket x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Nå kan vi gange ut venstre side av likningen og til slutt trekke fra to, for å «flytte» to over på venstre side, slik at vi får null på høyre side.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Divisjon

Akkurat som vi kan gange en likning, kan vi også dele den. Med samme begrensning som ved multiplikasjon — vi kan ikke dele på null. Divisjon kan nemlig enkelt gjøres om til multiplikasjon. Hvis vi vil dele likningen på uttrykket w, er det det samme som å gange likningen med brøken 1/w. Divisjon bruker vi ofte i eksempler som dette:

$$12x=7$$

Dette er en type likning vi ikke kan gjøre så mye mer med, vi kan bare dele hele likningen på tolv, og da får vi verdien av x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Vi ville fått det samme resultatet hvis vi hadde ganget likningen med 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Potensering

Når vi omformer likninger, kan vi også bruke potenser, men med visse begrensninger. Først repeterer vi litt om potenser. Gjelder denne likheten?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Hvis du kvadrerer et tall og så tar kvadratroten, får du da tilbake det opprinnelige tallet? Dette er et lumsk spørsmål, og svaret er at det ikke alltid er slik. Tenk deg at du setter inn et negativt tall for x, for eksempel minus tre:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Som du ser, stemmer likheten plutselig ikke, fordi når vi kvadrerer et negativt tall, får vi et positivt tall. Men når vi tar kvadratroten av et positivt tall, får vi igjen et positivt tall. Når gjelder denne likheten? Når vi vet at vi bare arbeider med positive, eller rettere sagt ikke-negative, tall. Vi kan altså tillate oss å kvadrere en likning hvis vi vet at vi arbeider med positive tall.

I geometri regner vi for eksempel ofte på likninger som inneholder lengder av linjestykker, og da kan vi trygt kvadrere, siden en lengde i seg selv ikke kan være negativ. Også ved kvadrering og rotuttrekking gjelder regelen at vi må gjøre det med hele likningen. Et eksempel:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Vi antar at vi bare beveger oss blant positive tall, og kan derfor tillate oss å kvadrere hele likningen:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Vi fikk en andregradslikning, som vi kan løse med metodene som er beskrevet i artikkelen.

Hvordan løser vi en likning som vi må kvadrere, men der vi ikke kan være sikre på at vi bare arbeider med positive tall? Du kvadrerer den rett og slett og gjør deretter en prøve, for ved kvadreringen kan du få løsninger som ikke er riktige løsninger av likningen. Et eksempel:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Nå kvadrerer vi likningen:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Vi får igjen en andregradslikning, så vi løser den med en passende teknikk, for eksempel faktorisering (den nøyaktige framgangsmåten står i artikkelen det er lenket til):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Vi ser at den ene løsningen er 1 og den andre 4. Men vi vet at vi har gjort en ikke-ekvivalent omforming, så vi må fortsatt gjøre en prøve. Vi setter disse løsningene inn i den opprinnelige likningen og finner ut hvilken av dem som er en gyldig løsning av den opprinnelige likningen. Først setter vi inn én:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Prøven viste at én ikke er en løsning av den opprinnelige likningen. Hva med fire?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Fire er en løsning av den opprinnelige likningen, og vi har funnet svaret.