Transformări echivalente ale ecuațiilor

Când transformăm ecuațiile, folosim transformări echivalente, care se caracterizează prin faptul că nu schimbă validitatea ecuației. Scopul transformărilor echivalente este să aducem ecuația la o formă mai simplă, din care putem calcula deja soluția.

Ce este o ecuație

Mai întâi, pe scurt, ce este o ecuație și cum o vom scrie. Dacă avem două funcții f(x) și g(x), le putem egala și obținem o ecuație:

$$f(x)=g(x)$$

În acest caz, f(x) se numește membrul stâng al ecuației, iar g(x) membrul drept. În locul funcțiilor abstracte f(x) și g(x) ne putem imagina funcții concrete, de exemplu f(x) = 3x și g(x) = x + 2. Atunci ecuația ar arăta astfel:

$$3x=x+2$$

Soluția ecuației este atunci o mulțime (de exemplu) S, astfel încât pentru fiecare x din mulțimea S, după înlocuirea în ecuație, aceasta rămâne adevărată. Așadar, mulțimea soluțiilor ecuației-exemplu ar fi

$$S=\left\{1\right\}.$$

După înlocuirea în ecuație obținem

$$3\cdot 1=1+2$$

O transformare echivalentă a unei ecuații este deci o transformare care nu schimbă validitatea ecuației. Adică ar fi o transformare echivalentă aceea în care din funcția f(x) obținem funcția f₁(x) și, prin aceeași transformare, din funcția g(x) obținem g₁(x), iar egalitatea rămâne totuși adevărată:

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Prima și cea mai simplă transformare echivalentă a ecuațiilor (nu a inecuațiilor!) este schimbarea între ei a membrului stâng cu cel drept. Este probabil evident că, dacă are loc

$$f(x)=g(x),$$

atunci are loc și egalitatea cu membrii schimbați

$$g(x)=f(x).$$

Despre ecuații vorbesc mai mult în articolul Ce este o ecuație.

Adunarea

Cel mai simplu exemplu este adunarea unei expresii la ambii membri ai ecuației. Transformarea echivalentă o aplicăm întotdeauna ambilor membri ai ecuației. Să avem deci această ecuație:

$$x-3=1.$$

Putem rezolva această ecuație adunând numărul trei la ambii membri. Când transformăm ecuații, de obicei scriem transformarea după bara oblică, pe rândul de la care am pornit, astfel:

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

În general putem scrie că, dacă avem din nou două funcții f(x) și g(x), putem aduna la ambele o a treia funcție h(x) fără să schimbăm validitatea ecuației.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

După cum se vede, nu suntem obligați să adunăm doar un număr, putem aduna și o funcție:

$$x=2x+6$$

De obicei vrem să avem variabilele în stânga, ceea ce obținem adunând la ecuație −2x, respectiv scăzând 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Putem aduna, desigur, și fracții, dacă ne convine.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Adunăm o jumătate și avem rezultatul:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Adunarea la ecuație se folosește în mod clasic atunci când vrei să „muți” o expresie dintr-un membru al ecuației în celălalt. Dacă ai ecuația

$$3=2x+17,$$

cum aduci expresia cu variabilă, adică 2x, în membrul stâng? Pur și simplu aduni la întreaga ecuație −2x. Astfel obții în membrul drept, în loc de 2x, zero, pentru că 2x − 2x = 0. Iar în celălalt membru obținem −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Înmulțirea

Ecuația o putem și înmulți cu o funcție. Singura condiție este ca acea funcție să nu fie nulă. Nu putem înmulți ecuația cu zero și nici cu o funcție care s-ar putea reduce la zero, de exemplu f(x) = x − x. Deci, dacă avem ecuația

$$3x=7,$$

o putem înmulți cu doi:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Asta probabil nu a avut prea mult sens; înmulțirea se folosește, de exemplu, atunci când vrei să scapi de fracții:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Dacă înmulțim această ecuație cu numitorul fracției din membrul drept, expresia 5x se simplifică frumos datorită proprietăților fracțiilor.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Acum înmulțim fracția cu expresia 5x, astfel că 5x ajunge la numărătorul fracției, iar apoi putem simplifica expresia 5x, pentru că o avem și la numitor, și la numărător.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

La începutul acestei părți am spus că nu avem voie să înmulțim cu zero. Acum am înmulțit cu expresia 5x — numai că această expresie conține o variabilă și, dacă în această variabilă înlocuim zero, întreaga expresie devine zero și, iată, înmulțim deja cu zero. Ce facem?

Se rezolvă stabilind condițiile în care putem efectua această transformare. Acum trebuie deci să scriem că putem înmulți cu 5x doar sub ipoteza că x este diferit de zero. Dar să ne uităm acum la ecuația pe care am înmulțit-o. Expresia 5x este deja conținută în ea și se află la numitorul fracției. Ce înseamnă asta? Nu putem împărți la zero, așa că domeniul de definiție al funcției $\frac{2}{5x}$ exclude deja egalitatea x = 0.

Deci, încă o dată — ecuația conține o fracție cu expresia 5x la numitor. Pentru că nu putem împărți la zero, ecuația are sens doar sub ipoteza că x este diferit de zero. De aceea putem înmulți fără griji întreaga ecuație cu 5x, pentru că condițiile necesare ni le asigură deja domeniul de definiție al funcției de la numitor.

Înmulțirea cu expresii mai complicate

Acum o observație importantă: dacă înmulțim ecuația cu o expresie, trebuie să înmulțim mereu întregul membru drept și întregul membru stâng. Pentru exemplu, să luăm această ecuație:

$$x+2=x-4$$

Dacă am vrea să o înmulțim cu doi, ar trebui să înmulțim membrii întregi, astfel:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Ar fi o greșeală să nu scriem parantezele, pentru că am obține un rezultat greșit:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Vezi că rezultatul este diferit față de cazul precedent. În mod asemănător, dacă înmulțești cu o expresie mai complicată, trebuie să înmulțești întreaga ecuație. Pentru exemplu, să luăm ecuația

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Înmulțim această ecuație cu expresia x + 3, ca să scăpăm de variabila de la numitorul din membrul drept.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Avem fracția într-o formă în care o putem simplifica frumos prin expresia x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Acum mai putem desface parantezele din membrul stâng și, în final, scădem doi, ca să „mutăm” numărul 2 în stânga, obținând astfel zero în membrul drept.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Împărțirea

Așa cum putem înmulți o ecuație, o putem și împărți. Cu aceeași restricție ca la înmulțire — nu avem voie să împărțim la zero. Împărțirea o putem transforma ușor în înmulțire. Dacă vrem să împărțim ecuația la expresia w, este același lucru ca și cum am înmulți ecuația cu fracția 1/w. Împărțirea se folosește des în exemple ca acesta:

$$12x=7$$

Acesta este genul de ecuație cu care nu mai avem ce face, decât să împărțim întreaga ecuație la doisprezece, obținând astfel valoarea lui x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Am obține același rezultat dacă am înmulți ecuația cu 1/12:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Ridicarea la putere

La transformarea ecuațiilor putem folosi și puteri, dar cu anumite restricții. Să ne reîmprospătăm mai întâi cunoștințele despre puteri. Este adevărată această egalitate?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Dacă ridici un număr la pătrat și apoi calculezi radicalul de ordinul doi, obții înapoi numărul inițial? Aceasta este o întrebare capcană, iar răspunsul este că nu întotdeauna. Imaginează-ți că în locul lui x pui un număr negativ, de exemplu minus trei:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

După cum se vede, egalitatea brusc nu mai are loc, pentru că ridicând la pătrat un număr negativ obținem un număr pozitiv. Dar dacă extragem apoi radicalul dintr-un număr pozitiv, obținem din nou un număr pozitiv. Când ar fi adevărată această egalitate? Când știm că lucrăm doar cu numere pozitive, respectiv nenegative. Ne putem permite deci să ridicăm ecuația la putere atunci când știm că lucrăm cu numere pozitive.

De exemplu, în geometrie rezolvăm adesea ecuații care conțin lungimile unor segmente și atunci putem ridica la putere fără teamă, pentru că lungimea ca atare nu poate fi negativă. Și la ridicarea la putere sau la extragerea radicalului este valabilă regula că trebuie să ridicăm la putere întreaga ecuație. Deci un exemplu:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Presupunem că lucrăm doar cu numere pozitive, de aceea ne putem permite să ridicăm întreaga ecuație la pătrat:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Am obținut o ecuație de gradul al doilea, pe care o putem rezolva cu mijloacele descrise în articol.

Cum s-ar rezolva o ecuație pe care trebuie s-o ridici la pătrat, dar nu poți fi sigur că lucrezi doar cu numere pozitive? Pur și simplu o ridici la pătrat și apoi faci verificarea, pentru că prin ridicarea la putere poți obține rezultate care nu sunt soluții ale ecuației. Deci un exemplu:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Acum ridicăm ecuația la pătrat:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Obținem din nou o ecuație de gradul al doilea, așa că o rezolvăm printr-o tehnică potrivită, de exemplu prin descompunere în factori (procedeul exact este în articolul indicat):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Vedem că o soluție este 1 și cealaltă 4. Dar știm că am efectuat o transformare neechivalentă, deci mai trebuie să facem verificarea. Înlocuim aceste soluții în ecuația inițială și aflăm care dintre ele este o soluție valabilă a ecuației inițiale. Mai întâi înlocuim pe 1:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Prin verificare am aflat că 1 nu este soluție a ecuației inițiale. Dar 4?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Numărul 4 este soluție a ecuației inițiale, am găsit rezultatul.