Was ist eine Gleichung

Die Gleichung ist einer der Grundbegriffe der Mathematik und eines der Mittel, durch die die ganze Mathematik funktioniert.

Einführungsbeispiel

Eine Gleichung hat eine linke Seite, dann ein Gleichheitszeichen und eine rechte Seite. Eine triviale Gleichung kann so aussehen:

$x = 2$

Auf der linken Seite steht die Variable x, dann folgt das Gleichheitszeichen und auf der rechten Seite die Zahl 2. Diese Gleichung ist einfach und sagt uns, dass der Wert der Variablen x gleich zwei ist. Die Variable x steht dann meist für etwas, das wir suchen. Das kann zum Beispiel die Anzahl der Knöpfe an einem Hemd oder das Gehalt eines Angestellten sein.

Eine Gleichung in dieser Form ist aber eher etwas, das wir suchen, als etwas, das in der Aufgabenstellung steht. In der Praxis haben wir meist eine kompliziertere Gleichung, zum Beispiel ist gegeben, wie viel fünf Angestellte insgesamt verdienen, und wir sollen herausfinden, wie viel ein Angestellter verdient (unter der Voraussetzung, dass alle gleich viel verdienen).

Wir wissen zum Beispiel, dass fünf Lehrer zusammen 15.000 € im Monat verdienen. Wie viel verdient ein Lehrer? Die Gleichung stellen wir so auf: Mit x bezeichnen wir das Gehalt eines Lehrers. Damit erhalten wir die Gleichung:

$5 x = 15.000$

Diese Gleichung ist die mathematische Schreibweise der Aufgabe „fünf Lehrer haben zusammen ein Gehalt von 15.000“. Unser Ziel ist es, das Gehalt eines Lehrers zu bestimmen, also den Wert x = ? zu finden. Wir greifen etwas vor und verwenden die Äquivalenzumformungen von Gleichungen und teilen die Gleichung durch fünf. Wenn fünf Lehrer 15.000 bekommen, dann bekommt ein Lehrer ein Fünftel davon. Im Ergebnis haben wir also

$x = 15.000 / 5$

und nach dem Teilen

$x = 3.000 .$

Definition der Gleichung

Für die Definition der Gleichung müssen wir wissen, was eine Funktion ist. Kennen wir Funktionen, können wir uns eine Gleichung als Schreibweise für die Gleichheit zweier Funktionen vorstellen:

$f (x) = g (x)$

Das ist die allgemeine Schreibweise einer Gleichung mit einer Unbekannten. Auf der linken Seite haben wir die Funktion f und auf der rechten Seite die Funktion g. Unsere Aufgabe ist es, die Lösungen der Gleichung zu finden, das sind die Werte x, für die die Funktionen f und g denselben Wert haben.

Wir wollen also konkrete Werte x finden, ich bezeichne sie mit x₁, für die gilt

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Nehmen wir zur Hilfe die Gleichung 2x = −4x + 6. Dann wäre f(x) = 2x und g(x) = −4x + 6. Wir suchen die x, für die die Funktion f denselben Wert hat wie die Funktion g. Lösen wir die Gleichung mit Äquivalenzumformungen, erhalten wir:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Die Lösung der Gleichung ist der Wert x = 1. Für diesen Wert sollten uns beide Funktionen denselben Wert liefern. Wenn wir die Funktion f mit der Eins aufrufen, erhalten wir

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Die Funktion f hat an der Stelle eins den Wert zwei. Was ist mit der Funktion g? Wir rufen sie mit der Eins auf:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Wir sehen, dass wir wieder die Zwei erhalten haben. Die Zahl eins ist also eine Lösung der Gleichung. Es ist zugleich die einzige Lösung der Gleichung in der Menge der reellen Zahlen. Rufen wir die Funktionen mit einem anderen Wert auf, erhalten wir verschiedene Ergebnisse. Für die Fünf würden wir zum Beispiel erhalten:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Grafische Bedeutung

Die Lösungen einer Gleichung haben eine schöne und offensichtliche grafische Bedeutung. Zeichnest du nämlich die Graphen der Funktionen, die auf der linken und der rechten Seite der Gleichung vorkommen, dann schneiden sich diese Graphen genau dort, wo die Gleichung eine Lösung hat.

Wir kehren zur Gleichung 2x = −4x + 6 zurück. Die Funktion auf der linken Seite ist f(x) = 2x und die Funktion auf der rechten Seite ist g(x) = −4x + 6. Wir wissen, dass die Lösung dieser Gleichung der Wert x = 1 ist. Es sollte also gelten, dass sich diese Funktionen an der Stelle eins schneiden. Es folgt eine Abbildung der Graphen beider Funktionen:

Graphen der Funktionen f(x)=2x (streng monoton steigend) und g(x)=-4x+6 (streng monoton fallend)

Du siehst, dass sich die Geraden in einem Punkt schneiden und dieser Punkt die Koordinaten (1 ∣ 2) hat. Die erste Koordinate ist der Wert x, die Lösung der Gleichung. Der zweite Wert ist der Wert y, also der resultierende Wert beider Funktionen, wenn du sie mit der Eins aufrufst.

Die Lösungen der Gleichung sind also alle Punkte, in denen sich die Funktionen auf der linken und der rechten Seite schneiden. Oft formen wir Gleichungen so um, dass auf der rechten Seite null steht, also die konstante Funktion g(x) = 0. Dann lösen wir, wann die Funktion auf der linken Seite die x-Achse schneidet. Die vorherige Gleichung 2x = −4x + 6 können wir so umformen, dass auf der rechten Seite null steht:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Zeichnen wir den Graphen der Funktion auf der linken Seite …

Graph der Funktion f(x)=6x-6

… so stellen wir fest, dass der Graph die x-Achse an der Stelle 1 schneidet. Wir sehen, dass wir auch dann dasselbe Ergebnis erhalten, wenn wir die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite null steht – wieder die Eins.

Anzahl der Lösungen einer Gleichung

Aus der grafischen Deutung von Gleichungen können wir schließen, wie viele verschiedene Lösungen eine Gleichung haben kann. So können wir leicht Fragen beantworten wie: Hat jede Gleichung eine Lösung? Kann eine Gleichung mehr als eine Lösung haben? Kann eine Gleichung unendlich viele Lösungen haben?

Keine Lösung

Wir beginnen der Reihe nach. Gibt es eine Gleichung, die keine Lösung hat? Wir führen das auf die Frage zurück – gibt es zwei Funktionsgraphen, die sich nie schneiden? Natürlich gibt es sie. Bleiben wir bei den linearen Gleichungen, deren Graphen Geraden sind, dann genügt es, parallele Geraden zu nehmen. Zum Beispiel:

$x + 1 = x + 2$

Schon mit dem gesunden Menschenverstand können wir ableiten, dass x + 1 niemals zugleich gleich x + 2 sein kann. Wenn wir den Graphen zeichnen, erhalten wir:

Graph der Funktionen y=x+1 und y=x+2

Wir sehen, dass die Funktionen parallele Geraden sind und sich deshalb nie schneiden. Die Gleichung, die wir aus ihnen gebildet haben, hat also keine Lösung. Die Gleichung können wir so umformen:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Wir sehen, dass die Gleichung tatsächlich keine Lösung hat.

Wir können uns viele weitere Gleichungen ausdenken, die keine Lösung haben, zum Beispiel die Gleichung x² = x − 1. Die Graphen beider Funktionen schneiden sich nie:

Graph der quadratischen Funktion y=x^2 und der linearen Funktion y=x-1

Mehrere Lösungen

Kann eine Gleichung mehr als eine Lösung haben? (Aber immer noch weniger als unendlich viele.) Wieder führen wir das auf die Frage zurück – gibt es zwei Funktionsgraphen, die endlich viele Schnittpunkte haben, wobei die Anzahl der Schnittpunkte zugleich größer als eins ist?

Die gibt es bestimmt. Im vorherigen Kapitel hatten wir als letztes Beispiel eine Gleichung mit einer quadratischen und einer linearen Funktion. Den vorherigen Graphen können wir so abändern, dass wir die Gerade so verschieben, dass sie den Graphen der quadratischen Funktion in genau zwei Punkten schneidet. Es genügt, statt y = x − 1 die Funktion y = x zu nehmen.

Graph der quadratischen Funktion y=x^2 und der linearen Funktion y=x

Wir sehen, dass sich die Graphen in zwei Punkten schneiden. Die Gleichung könnten wir so lösen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Unendlich viele Lösungen

Gibt es Gleichungen, die unendlich viele Lösungen haben? Gibt es also zwei Graphen, die sich in unendlich vielen Punkten schneiden? Ja, die gibt es. Es genügt, eine periodische Funktion zu nehmen und sie geeignet mit einer Geraden zu schneiden. Eine typische periodische Funktion ist der Sinus. Der Sinus hat als Wertemenge das Intervall [−1; 1] und wiederholt sich in diesem Bereich periodisch.

Es genügt also, sin(x) = a zu setzen, wobei a aus der Wertemenge ist. Ein konkretes Beispiel könnte so aussehen: sin(x) = 0,5. Die Graphen der Funktionen:

$Graph der trigonometrischen Funktion y=\sin(x) und der linearen Funktion y=0{,}5 mit grün markierten Schnittpunkten$

Wir sehen, dass die Gerade in der Abbildung den Sinus in mehreren Punkten schneidet. Der Sinus schwingt sowohl nach rechts als auch nach links weiter, sodass die Gerade den Sinus sowohl rechts als auch links noch unendlich oft schneidet.

Gleiche Funktionen in der Gleichung

Kann es vorkommen, dass wir für x einen beliebigen Wert aus der Definitionsmenge der Funktionen einsetzen können und die Gleichung gilt? Das passiert nur dann, wenn beide Funktionen gleich sind oder wenn wir die eine Funktion in die andere umformen können. Also ein Beispiel:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

Auf den ersten Blick haben wir auf jeder Seite verschiedene Funktionen, aber wenn wir die Klammer auf der rechten Seite ausmultiplizieren, erhalten wir gleiche Funktionen:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Eine solche Gleichung hat als Lösungsmenge die Definitionsmenge der Funktionen, also ist die Lösungsmenge gleich der Menge der reellen Zahlen. Eine solche Gleichung lässt sich in die Form 0 = 0 umformen.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

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