Какво е уравнение

Уравнението е едно от основните понятия в математиката и един от инструментите, благодарение на които цялата математика работи.

Уводен пример

Уравнението има лява страна, знак за равенство и дясна страна. Тривиалното уравнение може да изглежда така:

$$x=2$$

От лявата страна е променливата x, след нея следва знакът за равенство, а от дясната страна е числото 2. Това уравнение е просто и ни казва, че стойността на променливата x е равна на две. Променливата x обикновено представлява нещо, което търсим. Може да бъде например броят на копчетата на една риза или заплатата на един служител.

Уравнение в такъв вид обаче е по-скоро нещо, до което искаме да стигнем, а не нещо, което ни е дадено в условието на задачата. На практика обикновено имаме по-сложно уравнение, например знаем колко общо печелят пет служители и трябва да разберем колко печели един служител (ако приемем, че всички печелят еднакво).

Например знаем, че петима учители получават общо 7500 € на месец. Колко получава един учител? Уравнението съставяме така: с x означаваме заплатата на един учител. Така получаваме уравнението

$$5x=7500$$

Това уравнение е математически запис на условието „петима учители имат обща заплата 7500“. Целта ни е да разберем заплатата на един учител, т.е. да намерим стойността на x = ?. Ще изпреварим малко и ще използваме еквивалентните преобразувания на уравнения, като разделим уравнението на пет. Ако петима учители получават 7500, то един учител получава пет пъти по-малко. В резултат имаме

$$x=7500/5$$

и след делението

$$x=1500.$$

Определение на уравнение

За да определим понятието уравнение, трябва да знаем какво е функция. Ако познаваме функциите, можем да си представим уравнението като запис на равенство на две функции:

$$f(x)=g(x)$$

Това е общият запис на уравнение с едно неизвестно. Отляво имаме функцията f, а отдясно – функцията g. Задачата ни е да намерим корените на уравнението, т.е. стойностите на x, за които функциите f и g имат една и съща стойност.

Значи искаме да намерим такива конкретни стойности на x, да ги означим x₁, за които е изпълнено

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Да вземем за пример уравнението 2x = −4x + 6. Тогава f(x) = 2x и g(x) = −4x + 6. Търсим такива x, за които функцията f има същата стойност като функцията g. Като решим уравнението с еквивалентни преобразувания, получаваме:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Решението на уравнението е стойността x = 1. За нея двете функции трябва да ни дадат една и съща стойност. Ако заместим променливата с единица във функцията f, получаваме

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

В точката 1 функцията f има стойност 2. А функцията g? Заместваме с единица и в нея:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Виждаме, че отново получихме двойка. Значи числото едно е корен на уравнението. То е същевременно единственият корен на уравнението в множеството на реалните числа. Ако заместим във функциите друга стойност, ще получим различни резултати. Например за пет бихме получили:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Графичен смисъл

Решенията на уравнението имат ясен и нагледен графичен смисъл. Ако начертаеш графиките на функциите от лявата и дясната страна на уравнението, тези графики ще се пресичат точно в местата, където уравнението има решение.

Връщаме се към уравнението 2x = −4x + 6. Функцията отляво е f(x) = 2x, а функцията отдясно е g(x) = −4x + 6. Знаем, че коренът на това уравнение е стойността x = 1. Следователно в точката едно тези функции трябва да се пресичат. Следва чертеж на графиките на двете функции:

Виждаш, че правите се пресичат в една точка и тя има координати (1; 2). Първата координата е стойността на x, коренът на уравнението. Втората е стойността на y, т.е. получената стойност и на двете функции, когато заместим променливата с единица.

Следователно решения на уравнението са всички точки, в които функциите от лявата и дясната страна се пресичат. Често преобразуваме уравненията така, че от дясната страна да остане нула, т.е. константната функция g(x) = 0. Тогава решаваме кога функцията отляво пресича оста x. Предишното уравнение 2x = −4x + 6 можем да преобразуваме така, че от дясната страна да е нула:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Ако начертаем графиката на функцията отляво…

… ще видим, че графиката пресича оста x в точката 1. Виждаме, че макар да преобразувахме уравнението така, че отдясно да е нула, получаваме същия резултат – отново единица.

Брой на решенията на уравнението

От графичното тълкуване на уравненията можем да заключим колко различни решения може да има едно уравнение. Така лесно можем да отговорим на въпроси като: всяко ли уравнение има решение? Може ли уравнението да има повече от едно решение? Може ли уравнението да има безбройно много решения?

Няма решение

Започваме по ред. Има ли уравнение, което няма решение? Свеждаме го до въпроса: има ли две графики на функции, които никога не се пресичат? Разбира се, че има. Ако останем при линейните уравнения, чиито графики са прави, достатъчно е да вземем успоредни прави. Например:

$$x+1=x+2$$

Още със здрав разум можем да заключим, че x + 1 никога не може да е равно на x + 2. Когато начертаем графиките, получаваме:

Виждаме, че функциите са прави, които са успоредни и затова никога не се пресичат. Значи уравнението, което съставихме от тях, няма решение. Уравнението можем да преобразуваме така:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Виждаме, че уравнението наистина няма решение.

Можем да измислим много други уравнения, които нямат решение, например уравнението x² = x − 1. Графиките на двете функции никога не се пресичат:

Повече решения

Може ли уравнението да има повече от едно решение? (Но все още по-малко от безкрайност.) Отново го свеждаме до въпроса: има ли две графики на функции, които имат краен брой общи точки и този брой е по-голям от едно?

Със сигурност има. В предишния раздел последният пример беше уравнение с квадратна и линейна функция. Предишната графика можем да променим, като преместим правата така, че да пресича графиката на квадратната функция точно в две точки. Достатъчно е вместо y = x − 1 да вземем функцията y = x.

Виждаме, че графиките се пресичат в две точки. Уравнението бихме могли да решим така:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Безбройно много решения

Има ли уравнения, които имат безбройно много решения? Т.е. има ли две графики, които се пресичат в безбройно много точки? Да, има. Достатъчно е да вземем някаква периодична функция и да я пресечем с подходяща права. Типична периодична функция е синусът. Синусът има множество от стойности интервала [−1; 1] и в него периодично се повтаря.

Достатъчно е да положим sin(x) = a, където a е от множеството от стойности. Конкретен пример е sin(x) = 0,5. Графиките на функциите:

Виждаме, че на чертежа правата пресича синусоидата в няколко точки. Синусоидата продължава вълнообразно както надясно, така и наляво, така че и от двете страни правата ще я пресече безброй пъти.

Еднакви функции в уравнението

Може ли да се случи така, че да заместим x с произволна стойност от дефиниционното множество на функциите и уравнението да е изпълнено? Това става само когато двете функции са еднакви или когато едната функция може да се преобразува в другата. Например:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

На пръв поглед от всяка страна има различни функции, но ако разкрием скобата отдясно, получаваме еднакви функции:

$$2x+4=2x+4$$

Такова уравнение има множество от решения, равно на дефиниционното множество на функциите, т.е. множеството от решения е равно на множеството на реалните числа. Такова уравнение може да се преобразува във вида 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$