Τι είναι η εξίσωση

Η εξίσωση είναι μία από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών και ένα από τα εργαλεία που κάνουν ολόκληρα τα μαθηματικά να λειτουργούν.

Εισαγωγικό παράδειγμα

Η εξίσωση έχει πρώτο μέλος, το σύμβολο της ισότητας και δεύτερο μέλος. Μια τετριμμένη εξίσωση μπορεί να μοιάζει έτσι:

$x = 2$

Στο πρώτο μέλος είναι η μεταβλητή x, ακολουθεί το ίσον και στο δεύτερο μέλος ο αριθμός 2. Αυτή η εξίσωση είναι απλή και μας λέει ότι η τιμή της μεταβλητής x είναι ίση με δύο. Η μεταβλητή x συνήθως παριστάνει κάτι που ψάχνουμε. Μπορεί να είναι, για παράδειγμα, ο αριθμός των κουμπιών ενός πουκαμίσου ή ο μισθός ενός υπαλλήλου.

Μια εξίσωση σε αυτή τη μορφή όμως είναι μάλλον κάτι που ψάχνουμε παρά κάτι που θα ήταν δεδομένο σε μια άσκηση. Στην πράξη έχουμε συνήθως κάποια πιο σύνθετη εξίσωση, για παράδειγμα μας λένε πόσα κερδίζουν συνολικά πέντε υπάλληλοι και πρέπει να βρούμε πόσα κερδίζει ένας υπάλληλος (με την προϋπόθεση ότι όλοι κερδίζουν τα ίδια).

Για παράδειγμα, ξέρουμε ότι πέντε καθηγητές κερδίζουν συνολικά 4800 € τον μήνα. Πόσα κερδίζει ένας καθηγητής; Θα φτιάξουμε την εξίσωση ως εξής: συμβολίζουμε με x τον μισθό ενός καθηγητή. Έτσι προκύπτει η εξίσωση:

$5 x = 4800$

Αυτή η εξίσωση είναι η μαθηματική γραφή της εκφώνησης «πέντε καθηγητές έχουν συνολικό μισθό 4800». Στόχος μας είναι να βρούμε τον μισθό ενός καθηγητή, δηλαδή την τιμή x = ?. Θα προχωρήσουμε λίγο πιο γρήγορα και θα χρησιμοποιήσουμε τις ισοδύναμες μετατροπές εξισώσεων διαιρώντας την εξίσωση με το πέντε. Αν πέντε καθηγητές παίρνουν 4800, τότε ένας καθηγητής παίρνει πέντε φορές λιγότερο. Στο τέλος έχουμε

$x = 4800 / 5$

και μετά τη διαίρεση

$x = 960.$

Ορισμός της εξίσωσης

Για να ορίσουμε την έννοια της εξίσωσης, πρέπει να ξέρουμε τι είναι η συνάρτηση. Αν ξέρουμε τις συναρτήσεις, μπορούμε να φανταστούμε την εξίσωση ως γραφή της ισότητας δύο συναρτήσεων:

$f (x) = g (x)$

Αυτή είναι η γενική γραφή μιας εξίσωσης με έναν άγνωστο. Στο πρώτο μέλος έχουμε τη συνάρτηση f και στο δεύτερο μέλος τη συνάρτηση g. Ζητούμε τις ρίζες της εξίσωσης, δηλαδή τις τιμές του x για τις οποίες οι συναρτήσεις f και g έχουν την ίδια τιμή.

Θέλουμε λοιπόν να βρούμε συγκεκριμένες τιμές του x, ας τις συμβολίσω x₁, για τις οποίες ισχύει

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Ας πάρουμε για βοήθεια την εξίσωση 2x = −4x + 6. Τότε θα ήταν f(x) = 2x και g(x) = −4x + 6. Ψάχνουμε εκείνα τα x για τα οποία η συνάρτηση f έχει την ίδια τιμή με τη συνάρτηση g. Λύνοντας την εξίσωση με ισοδύναμες μετατροπές παίρνουμε:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Το αποτέλεσμα της εξίσωσης είναι η τιμή x = 1. Γι' αυτή την τιμή οι δύο συναρτήσεις πρέπει να μας δίνουν την ίδια τιμή. Αν υπολογίσουμε τη συνάρτηση f για το ένα, παίρνουμε

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Η συνάρτηση f έχει στο σημείο ένα την τιμή δύο. Τι γίνεται με τη συνάρτηση g; Την υπολογίζουμε για το ένα:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Βλέπουμε ότι πάλι πήραμε το δύο. Ο αριθμός ένα είναι λοιπόν ρίζα της εξίσωσης. Είναι ταυτόχρονα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν υπολογίσουμε τις συναρτήσεις για άλλη τιμή, θα πάρουμε διαφορετικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα, για το πέντε θα είχαμε:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Γραφική σημασία

Οι λύσεις της εξίσωσης έχουν μια ωραία και προφανή γραφική σημασία. Αν σχεδιάσεις τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που εμφανίζονται στο πρώτο και στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, αυτές θα τέμνονται ακριβώς στα σημεία όπου η εξίσωση έχει λύση.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση 2x = −4x + 6. Η συνάρτηση στο πρώτο μέλος είναι f(x) = 2x και η συνάρτηση στο δεύτερο μέλος είναι g(x) = −4x + 6. Ξέρουμε ότι ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι η τιμή x = 1. Πρέπει λοιπόν οι συναρτήσεις να τέμνονται στο σημείο ένα. Ακολουθεί το σχήμα με τις γραφικές παραστάσεις και των δύο συναρτήσεων:

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=2x (γνησίως αύξουσα) και g(x)=-4x+6 (γνησίως φθίνουσα)

Βλέπεις ότι οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες (1, 2). Η πρώτη συντεταγμένη είναι η τιμή του x, η ρίζα της εξίσωσης. Η δεύτερη τιμή είναι η τιμή του y, δηλαδή η κοινή τιμή των δύο συναρτήσεων, αν τις υπολογίσεις για το ένα.

Λύσεις της εξίσωσης είναι λοιπόν όλα τα σημεία στα οποία τέμνονται οι συναρτήσεις του πρώτου και του δεύτερου μέλους. Συχνά μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις έτσι ώστε στο δεύτερο μέλος να είναι το μηδέν, δηλαδή η σταθερή συνάρτηση g(x) = 0. Τότε ψάχνουμε πότε η συνάρτηση του πρώτου μέλους τέμνει τον άξονα x'x. Την προηγούμενη εξίσωση 2x = −4x + 6 μπορούμε να τη φέρουμε σε μορφή με μηδέν στο δεύτερο μέλος ως εξής:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Αν σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του πρώτου μέλους…

Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=6x-6

… βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο 1. Βλέπουμε ότι, ακόμα κι αν μετασχηματίσαμε την εξίσωση ώστε στο δεύτερο μέλος να είναι το μηδέν, παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα – πάλι το ένα.

Πλήθος λύσεων της εξίσωσης

Από τη γραφική ερμηνεία των εξισώσεων μπορούμε να συμπεράνουμε πόσες διαφορετικές λύσεις μπορεί να έχει μια εξίσωση. Έτσι μπορούμε εύκολα να απαντήσουμε σε ερωτήσεις όπως: έχει κάθε εξίσωση λύση; Μπορεί μια εξίσωση να έχει περισσότερες από μία λύσεις; Μπορεί μια εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις;

Καμία λύση

Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά. Υπάρχει εξίσωση που δεν έχει λύση; Το ανάγουμε στην ερώτηση: υπάρχουν δύο γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που δεν τέμνονται ποτέ; Φυσικά και υπάρχουν. Αν μείνουμε στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, που έχουν ως γραφικές παραστάσεις ευθείες, αρκεί να πάρουμε παράλληλες ευθείες. Για παράδειγμα:

$x + 1 = x + 2$

Ήδη με την κοινή λογική μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το x + 1 δεν μπορεί ποτέ να είναι ίσο με το x + 2. Αν σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση, παίρνουμε:

Γραφική παράσταση των συναρτήσεων y=x+1 και y=x+2

Βλέπουμε ότι οι συναρτήσεις είναι παράλληλες ευθείες και επομένως δεν τέμνονται ποτέ. Άρα η εξίσωση που φτιάξαμε από αυτές δεν έχει καμία λύση. Την εξίσωση μπορούμε να τη μετασχηματίσουμε ως εξής:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Βλέπουμε ότι η εξίσωση πράγματι δεν έχει καμία λύση.

Μπορούμε να σκεφτούμε πολλές άλλες εξισώσεις που δεν θα έχουν λύση, για παράδειγμα την εξίσωση x² = x − 1. Οι γραφικές παραστάσεις και των δύο συναρτήσεων δεν τέμνονται ποτέ:

Γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y=x^2 και της γραμμικής συνάρτησης y=x-1

Περισσότερες λύσεις

Μπορεί μια εξίσωση να έχει περισσότερες από μία λύση; (Αλλά πάντα λιγότερες από άπειρες.) Πάλι το ανάγουμε στην ερώτηση: υπάρχουν δύο γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που έχουν πεπερασμένο πλήθος κοινών σημείων και το πλήθος αυτό είναι μεγαλύτερο από ένα;

Σίγουρα υπάρχουν. Στο προηγούμενο κεφάλαιο το τελευταίο παράδειγμα ήταν μια εξίσωση με τετραγωνική και γραμμική συνάρτηση. Την προηγούμενη γραφική παράσταση μπορούμε να την αλλάξουμε μετακινώντας την ευθεία έτσι ώστε να τέμνει τη γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης ακριβώς σε δύο σημεία. Αρκεί να πάρουμε αντί για y = x − 1 τη συνάρτηση y = x.

Γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y=x^2 και της γραμμικής συνάρτησης y=x

Βλέπουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε δύο σημεία. Την εξίσωση θα μπορούσαμε να τη λύσουμε ως εξής:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Άπειρες λύσεις

Υπάρχουν εξισώσεις που έχουν άπειρες λύσεις; Δηλαδή υπάρχουν δύο γραφικές παραστάσεις που τέμνονται σε άπειρα σημεία; Ναι, υπάρχουν. Αρκεί να πάρουμε μια περιοδική συνάρτηση και να της φέρουμε κατάλληλα μια ευθεία. Η τυπική περιοδική συνάρτηση είναι το ημίτονο. Το ημίτονο έχει σύνολο τιμών το διάστημα [−1, 1] και μέσα σε αυτό επαναλαμβάνεται περιοδικά.

Αρκεί λοιπόν να θέσουμε ημ(x) = a, όπου το a θα ανήκει στο σύνολο τιμών. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε να είναι: ημ(x) = 0,5. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

$Γραφική παράσταση της τριγωνομετρικής συνάρτησης y=\operatorname{ημ}(x) και της γραμμικής συνάρτησης y=0{,}5, με τα σημεία τομής σημειωμένα με πράσινο$

Βλέπουμε ότι στο σχήμα η ευθεία τέμνει το ημίτονο σε αρκετά σημεία. Το ημίτονο συνεχίζει να κυματίζει και προς τα δεξιά και προς τα αριστερά, οπότε και δεξιά και αριστερά η ευθεία θα τέμνει το ημίτονο άπειρες φορές.

Ίδιες συναρτήσεις στην εξίσωση

Μπορεί να προκύψει κατάσταση όπου μπορούμε να αντικαταστήσουμε το x με οποιαδήποτε τιμή από το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και η εξίσωση να ισχύει; Αυτό συμβαίνει μόνο όταν οι δύο συναρτήσεις είναι ίδιες ή όταν τη μία συνάρτηση μπορούμε να τη μετασχηματίσουμε στην άλλη. Ένα παράδειγμα:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

Με την πρώτη ματιά έχουμε σε κάθε μέλος διαφορετικές συναρτήσεις, αλλά αν κάνουμε επιμερισμό στην παρένθεση του δεύτερου μέλους, παίρνουμε ίδιες συναρτήσεις:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Μια τέτοια εξίσωση έχει ως σύνολο λύσεων το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, δηλαδή το σύνολο λύσεων είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Προηγούμενο: Εξισώσεις και ανισώσεις

Επόμενο: Ισοδύναμες μετατροπές »