Che cos’è un’equazione

L’equazione è uno dei concetti fondamentali della matematica e uno degli strumenti grazie ai quali tutta la matematica funziona.

Esempio introduttivo

Un’equazione ha un primo membro, poi il segno di uguale e un secondo membro. Un’equazione banale può avere questo aspetto:

$x = 2$

Nel primo membro c’è la variabile x, poi viene il segno di uguale e nel secondo membro il numero 2. Questa equazione è semplice e ci dice che il valore della variabile x è uguale a due. La variabile x di solito rappresenta qualcosa che cerchiamo. Può essere, per esempio, il numero di bottoni di una camicia o lo stipendio di un dipendente.

Però un’equazione scritta in questa forma è piuttosto qualcosa che cerchiamo, non qualcosa che troveremmo nel testo di un esercizio. In pratica di solito abbiamo un’equazione più complicata: per esempio sappiamo quanto guadagnano in tutto cinque dipendenti e il nostro compito è scoprire quanto guadagna un solo dipendente (supponendo che tutti guadagnino lo stesso).

Per esempio sappiamo che cinque insegnanti guadagnano in tutto 4800 € al mese. Quanto guadagna un insegnante? L’equazione la costruiamo così: indichiamo con x lo stipendio di un insegnante. In questo modo otteniamo l’equazione:

$5 x = 4800$

Questa equazione è la scrittura matematica del testo «cinque insegnanti hanno in tutto uno stipendio di 4800». Il nostro obiettivo è scoprire lo stipendio di un insegnante, cioè trovare il valore x = ?. Anticipiamo un po’ e usiamo i principi di equivalenza delle equazioni: dividiamo l’equazione per cinque. Se cinque insegnanti ricevono 4800, un insegnante ne riceve un quinto. Alla fine abbiamo quindi

$x = 4800 / 5$

e dopo la divisione

$x = 960.$

Definizione di equazione

Per definire il concetto di equazione ci serve sapere che cos’è una funzione. Se conosciamo le funzioni, possiamo immaginare l’equazione come la scrittura dell’uguaglianza di due funzioni:

$f (x) = g (x)$

Questa è la scrittura generale di un’equazione in una incognita. Nel primo membro abbiamo la funzione f e nel secondo la funzione g. Il nostro compito è trovare le soluzioni dell’equazione (dette anche radici), cioè i valori di x per i quali le funzioni f e g hanno lo stesso valore.

Vogliamo quindi trovare dei valori concreti di x, che indico con x₁, per i quali vale

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Prendiamo come esempio l’equazione 2x = −4x + 6. Allora sarebbe f(x) = 2x e g(x) = −4x + 6. Cerchiamo gli x per i quali la funzione f ha lo stesso valore della funzione g. Risolvendo l’equazione con i principi di equivalenza otteniamo:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Il risultato dell’equazione è il valore x = 1. Per questo valore entrambe le funzioni dovrebbero restituire lo stesso valore. Se calcoliamo la funzione f in uno, otteniamo

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

La funzione f nel punto uno ha il valore due. E la funzione g? La calcoliamo in uno:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Vediamo che abbiamo ottenuto di nuovo due. Il numero uno è quindi una soluzione dell’equazione. È anche l’unica soluzione dell’equazione nell’insieme dei numeri reali. Se calcolassimo le funzioni in un altro valore, otterremmo risultati diversi. Per esempio per cinque otterremmo:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Significato grafico

Le soluzioni di un’equazione hanno un significato grafico bello e chiaro. Se infatti disegni i grafici delle funzioni che compaiono nel primo e nel secondo membro dell’equazione, questi grafici si intersecano proprio nei punti in cui l’equazione ha soluzione.

Torniamo all’equazione 2x = −4x + 6. La funzione al primo membro è f(x) = 2x e la funzione al secondo membro è g(x) = −4x + 6. Sappiamo che la soluzione di questa equazione è il valore x = 1. Dovrebbe quindi valere che nel punto uno queste funzioni si intersecano. Ecco la figura con i grafici di entrambe le funzioni:

Grafici delle funzioni f(x)=2x (crescente) e g(x)=-4x+6 (decrescente)

Vedi che le rette si intersecano in un punto e questo punto ha coordinate (1; 2). La prima coordinata è il valore di x, la soluzione dell’equazione. Il secondo valore è il valore di y, cioè il valore che entrambe le funzioni assumono se le calcoli in uno.

Le soluzioni dell’equazione sono quindi tutti i punti in cui le funzioni del primo e del secondo membro si intersecano. Spesso trasformiamo l’equazione in modo che nel secondo membro ci sia zero, cioè la funzione costante g(x) = 0. Allora cerchiamo quando la funzione del primo membro interseca l’asse x. L’equazione precedente 2x = −4x + 6 possiamo trasformarla in modo da avere zero al secondo membro così:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Se disegniamo il grafico della funzione al primo membro…

Grafico della funzione f(x)=6x-6

… scopriamo che il grafico interseca l’asse x nel punto 1. Vediamo che, anche se abbiamo trasformato l’equazione in modo da avere zero al secondo membro, otteniamo lo stesso risultato – di nuovo uno.

Numero di soluzioni di un’equazione

Dall’interpretazione grafica delle equazioni possiamo dedurre quante soluzioni diverse può avere un’equazione. Possiamo così rispondere facilmente a domande come: ogni equazione ha una soluzione? Un’equazione può avere più di una soluzione? Un’equazione può avere infinite soluzioni?

Nessuna soluzione

Cominciamo con ordine. Esiste un’equazione che non ha soluzioni? Lo riduciamo alla domanda: esistono due grafici di funzioni che non si intersecano mai? Certo che esistono. Se ci limitiamo alle equazioni di primo grado, che hanno come grafici delle rette, basta prendere rette parallele. Per esempio:

$x + 1 = x + 2$

Già con il buon senso possiamo dedurre che x + 1 non può mai essere uguale a x + 2. Se disegniamo il grafico, otteniamo:

Grafico delle funzioni y=x+1 e y=x+2

Vediamo che le funzioni sono rette parallele e quindi non si intersecano mai. Perciò l’equazione che abbiamo costruito con esse non ha nessuna soluzione. L’equazione possiamo trasformarla così:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Vediamo che l’equazione davvero non ha nessuna soluzione.

Possiamo inventare molte altre equazioni che non avranno soluzioni, per esempio l’equazione x² = x − 1. I grafici di entrambe le funzioni non si intersecano mai:

Grafico della funzione quadratica y=x^2 e della funzione lineare y=x-1

Più soluzioni

Un’equazione può avere più di una soluzione? (Ma pur sempre un numero finito.) Lo riduciamo di nuovo alla domanda: esistono due grafici di funzioni che hanno un numero finito di intersezioni e questo numero è maggiore di uno?

Certamente esistono. Nel capitolo precedente, come ultimo esempio, avevamo un’equazione con una funzione quadratica e una lineare. Il grafico precedente possiamo modificarlo spostando la retta in modo che intersechi il grafico della funzione quadratica in esattamente due punti. Basta prendere al posto di y = x − 1 la funzione y = x.

Grafico della funzione quadratica y=x^2 e della funzione lineare y=x

Vediamo che i grafici si intersecano in due punti. L’equazione potremmo risolverla così:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Infinite soluzioni

Esistono equazioni che hanno infinite soluzioni? Cioè esistono due grafici che si intersecano in infiniti punti? Sì, esistono. Basta prendere una funzione periodica e intersecarla con una retta scelta in modo opportuno. Una tipica funzione periodica è il seno. Il seno ha come insieme immagine l’intervallo [−1; 1] e in questo intervallo si ripete periodicamente.

Basta quindi porre sen(x) = a, dove a sarà preso dall’insieme immagine. Un esempio concreto potrebbe essere questo: sen(x) = 0,5. I grafici delle funzioni:

$Grafico della funzione goniometrica y=\sin(x) e della funzione lineare y=0,5 con le intersezioni evidenziate in verde$

Vediamo che nella figura la retta interseca il seno in diversi punti. Il seno continua a ondeggiare sia a destra sia a sinistra, quindi sia a destra sia a sinistra la retta interseca il seno ancora infinite volte.

Funzioni uguali nell’equazione

Può accadere che al posto di x possiamo sostituire qualsiasi valore del dominio delle funzioni e l’equazione sia verificata? Succede solo quando le due funzioni sono uguali oppure quando una funzione si può trasformare nell’altra. Ecco un esempio:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

A prima vista abbiamo in ogni membro funzioni diverse, ma se eliminiamo la parentesi nel secondo membro, otteniamo funzioni uguali:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Un’equazione del genere ha come insieme delle soluzioni il dominio delle funzioni, cioè l’insieme delle soluzioni è uguale all’insieme dei numeri reali. Un’equazione così si può portare alla forma 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

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