Wat is een vergelijking
Een vergelijking is een van de basisbegrippen in de wiskunde en een van de middelen waardoor de hele wiskunde werkt.
Een eerste voorbeeld
Een vergelijking heeft een linkerkant, daarna een gelijkteken en een rechterkant. Een triviale vergelijking kan er zo uitzien:
Aan de linkerkant staat de variabele x, dan volgt het gelijkteken en aan de rechterkant het getal 2. Deze vergelijking is eenvoudig en zegt ons dat de waarde van de variabele x gelijk is aan twee. De variabele x stelt meestal iets voor wat we zoeken. Dat kan bijvoorbeeld het aantal knopen aan een overhemd zijn, of het salaris van een werknemer.
Een vergelijking in deze vorm is echter eerder iets wat we zoeken dan iets wat in de opgave staat. In de praktijk hebben we meestal een ingewikkeldere vergelijking. We weten bijvoorbeeld hoeveel vijf werknemers samen verdienen en onze taak is om uit te zoeken hoeveel één werknemer verdient (ervan uitgaande dat ze allemaal evenveel verdienen).
We weten bijvoorbeeld dat vijf leraren samen € 17 500 per maand verdienen. Hoeveel verdient één leraar? De vergelijking stellen we zo op: met x geven we het salaris van één leraar aan. Zo krijgen we de vergelijking:
Deze vergelijking is de wiskundige notatie van de opgave “vijf leraren verdienen samen 17 500”. Ons doel is om het salaris van één leraar te vinden, dus om de waarde x = ? te bepalen. We lopen even vooruit en gebruiken equivalente bewerkingen van vergelijkingen: we delen de vergelijking door vijf. Als vijf leraren samen 17 500 krijgen, dan krijgt één leraar vijf keer minder. Het resultaat is dus
en na het delen
Definitie van een vergelijking
Voor de definitie van het begrip vergelijking moeten we weten wat een functie is. Als we functies kennen, kunnen we een vergelijking opvatten als een notatie voor de gelijkheid van twee functies:
Dit is de algemene notatie van een vergelijking met één onbekende. Aan de linkerkant staat de functie f en aan de rechterkant de functie g. Onze taak is om de oplossingen van de vergelijking te vinden: dat zijn de waarden van x waarvoor de functies f en g dezelfde waarde hebben.
We willen dus zulke specifieke waarden van x vinden, ik noem ze x1, waarvoor geldt
We nemen de vergelijking 2x = −4x + 6 erbij. Dan geldt f(x) = 2x en g(x) = −4x + 6. We zoeken de waarden van x waarvoor de functie f dezelfde waarde heeft als de functie g. Als we de vergelijking oplossen met equivalente bewerkingen, krijgen we:
De oplossing van de vergelijking is x = 1. Voor deze waarde moeten beide functies dezelfde waarde geven. Als we één invullen in de functie f, krijgen we
De functie f heeft in het punt één de waarde twee. En de functie g? Daarin vullen we ook één in:
We zien dat we opnieuw twee hebben gekregen. Het getal één is dus een oplossing van de vergelijking. Het is bovendien de enige oplossing van de vergelijking in de reële getallen. Als we een andere waarde in de functies invullen, krijgen we verschillende uitkomsten. Voor vijf krijgen we bijvoorbeeld:
Grafische betekenis
De oplossingen van een vergelijking hebben een mooie en duidelijke grafische betekenis. Als je de grafieken tekent van de functies die aan de linker- en rechterkant van de vergelijking staan, snijden die grafieken elkaar precies op de plaatsen waar de vergelijking een oplossing heeft.
We gaan terug naar de vergelijking 2x = −4x + 6. De functie aan de linkerkant is f(x) = 2x en de functie aan de rechterkant is g(x) = −4x + 6. We weten dat de oplossing van deze vergelijking x = 1 is. Er moet dus gelden dat deze functies elkaar in het punt één snijden. Hieronder staat een figuur met de grafieken van beide functies:
Je ziet dat de lijnen elkaar in één punt snijden en dat dit punt de coördinaten (1, 2) heeft. De eerste coördinaat is de waarde van x, de oplossing van de vergelijking. De tweede waarde is de waarde van y, dus de uitkomst van beide functies als je er één in invult.
De oplossingen van de vergelijking zijn dus alle punten waarin de functies aan de linker- en rechterkant elkaar snijden. Vaak herleiden we vergelijkingen zo dat aan de rechterkant nul staat, dus de constante functie g(x) = 0. Dan zoeken we waar de functie aan de linkerkant de x-as snijdt. De vorige vergelijking 2x = −4x + 6 kunnen we zo herleiden dat aan de rechterkant nul staat:
Als we de grafiek van de functie aan de linkerkant tekenen…
… zien we dat de grafiek de x-as snijdt in het punt 1. We zien dat we ook nadat we de vergelijking zo hebben herleid dat aan de rechterkant nul staat, hetzelfde resultaat krijgen: opnieuw één.
Aantal oplossingen van een vergelijking
Uit de grafische interpretatie van vergelijkingen kunnen we afleiden hoeveel verschillende oplossingen een vergelijking kan hebben. Zo kunnen we gemakkelijk vragen beantwoorden als: heeft elke vergelijking een oplossing? Kan een vergelijking meer dan één oplossing hebben? Kan een vergelijking oneindig veel oplossingen hebben?
Geen oplossing
We beginnen bij het begin. Bestaat er een vergelijking zonder oplossing? Dat herleiden we tot de vraag: bestaan er twee grafieken van functies die elkaar nooit snijden? Natuurlijk bestaan die. Als we bij lineaire vergelijkingen blijven, waarvan de grafieken lijnen zijn, hoeven we alleen maar lijnen te nemen die evenwijdig zijn. Bijvoorbeeld:
Met gezond verstand kunnen we al bedenken dat x + 1 nooit tegelijk gelijk kan zijn aan x + 2. Als we de grafiek tekenen, krijgen we:
We zien dat de functies evenwijdige lijnen zijn die elkaar dus nooit snijden. De vergelijking die we ermee hebben samengesteld, heeft dus geen enkele oplossing. De vergelijking kunnen we zo herleiden:
We zien dat de vergelijking inderdaad geen enkele oplossing heeft.
We kunnen nog veel meer vergelijkingen bedenken die geen oplossing hebben, bijvoorbeeld de vergelijking x2 = x − 1. De grafieken van beide functies snijden elkaar nooit:
Meerdere oplossingen
Kan een vergelijking meer dan één oplossing hebben? (Maar nog steeds minder dan oneindig veel.) Opnieuw herleiden we dit tot de vraag: bestaan er twee grafieken van functies die een eindig aantal snijpunten hebben, waarbij het aantal snijpunten groter is dan één?
Die bestaan zeker. In het vorige deel hadden we als laatste voorbeeld een vergelijking met een kwadratische en een lineaire functie. De vorige grafiek kunnen we aanpassen door de lijn zo te verschuiven dat die de grafiek van de kwadratische functie in precies twee punten snijdt. We hoeven alleen maar in plaats van y = x − 1 de functie y = x te nemen.
We zien dat de grafieken elkaar in twee punten snijden. De vergelijking kunnen we zo oplossen:
Oneindig veel oplossingen
Bestaan er vergelijkingen met oneindig veel oplossingen? Bestaan er dus twee grafieken die elkaar in oneindig veel punten snijden? Ja, die bestaan. We hoeven alleen maar een periodieke functie te nemen en daar op een geschikte manier een lijn doorheen te leggen. De typische periodieke functie is de sinus. De sinus heeft als bereik het interval [−1, 1] en binnen dat bereik herhaalt hij zich periodiek.
We hoeven dus alleen maar sin(x) = a te nemen, waarbij a in het bereik ligt. Een concreet voorbeeld kan zijn: sin(x) = 0,5. De grafieken van de functies:
We zien dat de lijn in de figuur de sinus in meerdere punten snijdt. De sinus golft zowel naar rechts als naar links door, dus zowel aan de rechterkant als aan de linkerkant snijdt de lijn de sinus nog oneindig vaak.
Dezelfde functies in een vergelijking
Kan het gebeuren dat we voor x elke waarde uit het domein van de functies kunnen invullen en dat de vergelijking dan klopt? Dat gebeurt alleen als beide functies hetzelfde zijn of als we de ene functie in de andere kunnen herleiden. Een voorbeeld:
Op het eerste gezicht staan er aan elke kant verschillende functies, maar als we de haakjes aan de rechterkant uitwerken, krijgen we dezelfde functies:
Zo'n vergelijking heeft als oplossingenverzameling het domein van de functies, dus de oplossingenverzameling is gelijk aan de verzameling van de reële getallen. Zo'n vergelijking kunnen we herleiden tot 0 = 0.
