Hva er en likning

Likningen er et av de grunnleggende begrepene i matematikken og et av verktøyene som får hele matematikken til å fungere.

Et innledende eksempel

En likning har en venstre side, et likhetstegn og en høyre side. En triviell likning kan se slik ut:

$x = 2$

På venstre side står variabelen x, så kommer likhetstegnet, og på høyre side står tallet 2. Denne likningen er enkel og forteller oss at verdien av variabelen x er lik to. Variabelen x står vanligvis for noe vi leter etter. Det kan for eksempel være antall knapper på en skjorte eller lønnen til en ansatt.

En likning på denne formen er imidlertid mer noe vi leter etter enn noe som står i oppgaveteksten. I praksis har vi som regel en mer sammensatt likning. Vi kan for eksempel få vite hvor mye fem ansatte tjener til sammen, og oppgaven er å finne ut hvor mye én ansatt tjener (forutsatt at alle tjener like mye).

Vi vet for eksempel at fem lærere tjener til sammen 275 000 kroner i måneden. Hvor mye tjener én lærer? Likningen setter vi opp slik: Vi kaller lønnen til én lærer for x. Da får vi likningen

$5 x = 275000$

Denne likningen er den matematiske skrivemåten for oppgaveteksten «fem lærere har til sammen en lønn på 275000». Målet vårt er å finne lønnen til én lærer, altså å finne verdien av x = ?. Vi foregriper litt og bruker ekvivalente omforminger av likninger og deler likningen på fem. Hvis fem lærere får 275000, får én lærer fem ganger mindre. Til slutt har vi

$x = 275000 / 5$

og etter divisjonen

$x = 55000.$

Definisjon av likning

For å definere begrepet likning må vi vite hva en funksjon er. Når vi kjenner funksjoner, kan vi tenke på en likning som en skrivemåte for likhet mellom to funksjoner:

$f (x) = g (x)$

Dette er den generelle skrivemåten for en likning med én ukjent. På venstre side har vi funksjonen f og på høyre side funksjonen g. Oppgaven vår er å finne løsningene av likningen, altså de verdiene av x som gjør at funksjonene f og g har samme verdi.

Vi vil altså finne bestemte verdier av x, la oss kalle dem x₁, som oppfyller

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Vi tar likningen 2x = −4x + 6 som hjelp. Da er f(x) = 2x og g(x) = −4x + 6. Vi leter etter de x-ene som gir funksjonen f samme verdi som funksjonen g. Når vi løser likningen med ekvivalente omforminger, får vi:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Løsningen av likningen er verdien x = 1. For denne verdien skal begge funksjonene gi samme verdi. Når vi setter inn én i funksjonen f, får vi

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Funksjonen f har altså verdien to i punktet én. Hva med funksjonen g? Vi setter inn én også der:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Vi ser at vi igjen fikk to. Tallet én er dermed en løsning av likningen. Det er også den eneste løsningen i mengden av reelle tall. Hvis vi setter inn en annen verdi i funksjonene, får vi ulike resultater. For eksempel får vi for fem:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Grafisk tolkning

Løsningene av en likning har en fin og tydelig grafisk betydning. Hvis du tegner grafene til funksjonene som står på venstre og høyre side av likningen, skjærer grafene hverandre nøyaktig der likningen har løsninger.

Vi går tilbake til likningen 2x = −4x + 6. Funksjonen på venstre side er f(x) = 2x, og funksjonen på høyre side er g(x) = −4x + 6. Vi vet at løsningen av denne likningen er x = 1. Da skal funksjonene skjære hverandre i punktet én. Her er et bilde av grafene til begge funksjonene:

Grafene til funksjonene f(x)=2x (strengt voksende) og g(x)=-4x+6 (strengt avtagende)

Du ser at linjene skjærer hverandre i ett punkt, og dette punktet har koordinatene (1, 2). Førstekoordinaten er verdien av x, løsningen av likningen. Den andre verdien er verdien av y, altså den felles funksjonsverdien når du setter inn én i begge funksjonene.

Løsningene av likningen er dermed alle punkter der funksjonene på venstre og høyre side skjærer hverandre. Ofte skriver vi likningen om slik at det står null på høyre side, altså den konstante funksjonen g(x) = 0. Da løser vi spørsmålet om når funksjonen på venstre side skjærer x-aksen. Likningen 2x = −4x + 6 kan vi skrive om slik at det står null på høyre side:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Hvis vi tegner grafen til funksjonen på venstre side …

Grafen til funksjonen f(x)=6x-6

… ser vi at grafen skjærer x-aksen i punktet 1. Selv om vi skrev om likningen slik at det står null på høyre side, får vi altså det samme resultatet — igjen én.

Antall løsninger av en likning

Ut fra den grafiske tolkningen av likninger kan vi finne ut hvor mange ulike løsninger en likning kan ha. Da kan vi lett svare på spørsmål som — har alle likninger en løsning? Kan en likning ha mer enn én løsning? Kan en likning ha uendelig mange løsninger?

Ingen løsning

Vi tar det ett om gangen. Finnes det en likning som ikke har noen løsning? Vi omformulerer spørsmålet — finnes det to funksjonsgrafer som aldri skjærer hverandre? Selvfølgelig finnes det det. Hvis vi holder oss til lineære likninger, som har rette linjer som grafer, er det nok å ta linjer som er parallelle. For eksempel:

$x + 1 = x + 2$

Med vanlig sunn fornuft kan vi se at x + 1 aldri kan være lik x + 2. Når vi tegner grafen, får vi:

Grafen til funksjonene y=x+1 og y=x+2

Vi ser at funksjonene er rette linjer som er parallelle og derfor aldri skjærer hverandre. Likningen vi laget av dem har altså ingen løsning. Likningen kan vi skrive om slik:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Vi ser at likningen virkelig ikke har noen løsning.

Vi kan finne på mange andre likninger som ikke har løsning, for eksempel likningen x² = x − 1. Grafene til begge funksjonene skjærer aldri hverandre:

Grafen til andregradsfunksjonen y=x^2 og den lineære funksjonen y=x-1

Flere løsninger

Kan en likning ha mer enn én løsning? (Men fortsatt færre enn uendelig mange.) Vi omformulerer igjen — finnes det to funksjonsgrafer som har et endelig antall skjæringspunkter, og der antallet skjæringspunkter samtidig er større enn én?

Det finnes det helt sikkert. I forrige avsnitt hadde vi som siste eksempel en likning med en andregradsfunksjon og en lineær funksjon. Vi kan endre den forrige grafen ved å flytte linjen slik at den skjærer grafen til andregradsfunksjonen i nøyaktig to punkter. Det holder å ta funksjonen y = x i stedet for y = x − 1.

Grafen til andregradsfunksjonen y=x^2 og den lineære funksjonen y=x

Vi ser at grafene skjærer hverandre i to punkter. Likningen kan vi løse slik:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Uendelig mange løsninger

Finnes det likninger som har uendelig mange løsninger? Altså finnes det to grafer som skjærer hverandre i uendelig mange punkter? Ja, det gjør det. Vi kan ta en periodisk funksjon og legge en passende linje gjennom den. Den typiske periodiske funksjonen er sinus. Sinus har verdimengden intervallet [−1, 1] og gjentar seg periodisk innenfor dette området.

Det er nok å sette sin(x) = a, der a ligger i verdimengden. Et konkret eksempel kan være sin(x) = 0,5. Grafene til funksjonene:

$Grafen til den trigonometriske funksjonen y=\sin(x) og den lineære funksjonen y=0,5 med skjæringspunktene markert med grønt$

Vi ser at linjen i bildet skjærer sinuskurven i flere punkter. Sinus fortsetter å svinge både mot høyre og mot venstre, så både til høyre og til venstre skjærer linjen sinuskurven uendelig mange ganger.

Like funksjoner i en likning

Kan det oppstå en situasjon der vi kan sette inn hvilken som helst verdi av x fra definisjonsmengden til funksjonene, og likningen likevel stemmer? Det skjer bare når de to funksjonene er like, eller når vi kan skrive den ene funksjonen om til den andre. Et eksempel:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

Ved første øyekast har vi to ulike funksjoner på hver side, men hvis vi ganger ut parentesen på høyre side, får vi like funksjoner:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

En slik likning har løsningsmengde lik definisjonsmengden til funksjonene, altså er løsningsmengden lik mengden av reelle tall. En slik likning kan vi skrive om til formen 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Forrige: Likninger og ulikheter

Neste: Løsning av likninger »