Qu’est-ce qu’une équation
Une équation est l’une des notions fondamentales des mathématiques et l’un des outils grâce auxquels toutes les mathématiques fonctionnent.
Exemple d’introduction
Une équation comporte un membre de gauche, le signe égal et un membre de droite. Une équation très simple peut ressembler à ceci :
À gauche se trouve la variable x, suivie du signe égal, et à droite le nombre 2. Cette équation est très simple et nous dit que la valeur de la variable x est égale à deux. La variable x représente en général ce que l’on cherche. Il peut s’agir par exemple du nombre de boutons d’une chemise ou du salaire d’un employé.
Mais une équation de cette forme est plutôt ce que l’on cherche que ce qui figure dans l’énoncé d’un exercice. En pratique, on rencontre plutôt une équation plus compliquée : on nous indique le salaire total gagné par cinq employés, et notre tâche est de déterminer le salaire d’un seul employé (en supposant que tous gagnent la même somme).
Par exemple, nous savons que cinq professeurs gagnent au total 4 800 € par mois. Combien gagne un professeur ? Pour écrire l’équation, notons par x le salaire d’un professeur. On obtient alors l’équation :
Cette équation est l’écriture mathématique de l’énoncé « cinq professeurs gagnent au total 4800 € ». Notre objectif est de déterminer le salaire d’un professeur, c’est-à-dire la valeur x = ?. Anticipons un peu et utilisons les transformations équivalentes des équations pour diviser l’équation par cinq. Si cinq professeurs reçoivent 4800 €, alors un professeur reçoit cinq fois moins. On obtient donc
et après la division
Définition d’une équation
Pour définir la notion d’équation, nous avons besoin de savoir ce qu’est une fonction. Si l’on connaît les fonctions, on peut écrire une équation comme l’égalité de deux fonctions :
Il s’agit de la forme générale d’une équation à une inconnue. Le membre de gauche est la fonction f et le membre de droite la fonction g. Notre tâche est de trouver les solutions de l’équation, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles les fonctions f et g prennent la même valeur.
Cherchons donc les valeurs précises de x, que nous notons x1, pour lesquelles on a
Prenons comme exemple l’équation 2x = −4x + 6. On a alors f(x) = 2x et g(x) = −4x + 6. Nous cherchons les x pour lesquels la fonction f prend la même valeur que la fonction g. En résolvant l’équation à l’aide de transformations équivalentes, on obtient :
La solution de l’équation est la valeur x = 1. Pour cette valeur, les deux fonctions doivent renvoyer le même résultat. Si l’on calcule f en un, on obtient
La fonction f prend donc la valeur deux au point un. Et la fonction g ? Calculons-la en un :
On obtient à nouveau deux. Le nombre un est donc une solution de l’équation. C’est en même temps l’unique solution de l’équation dans l’ensemble des nombres réels. Si l’on calcule les fonctions avec une autre valeur, on obtient des résultats différents. Pour cinq, par exemple, on obtiendrait :
Signification graphique
Les solutions d’une équation ont une signification graphique belle et évidente. En effet, si l’on trace les graphes des fonctions situées à gauche et à droite de l’équation, ces graphes se coupent précisément aux endroits où l’équation possède une solution.
Revenons à l’équation 2x = −4x + 6. La fonction de gauche est f(x) = 2x et celle de droite g(x) = −4x + 6. Nous savons que la solution de cette équation est la valeur x = 1. Les deux fonctions devraient donc se couper au point d’abscisse un. Voici les graphes des deux fonctions :
Tu vois que les droites se coupent en un seul point, dont les coordonnées sont (1 ; 2). La première coordonnée est la valeur de x, la solution de l’équation. La seconde est la valeur de y, c’est-à-dire le résultat commun des deux fonctions lorsqu’on les calcule en un.
Les solutions de l’équation sont donc tous les points où les fonctions de gauche et de droite se coupent. Souvent, on transforme l’équation pour qu’il y ait zéro à droite, c’est-à-dire la fonction constante g(x) = 0. On cherche alors quand la fonction de gauche coupe l’axe des abscisses. Transformons l’équation précédente 2x = −4x + 6 pour qu’il y ait zéro à droite :
Si l’on trace le graphe de la fonction du membre de gauche…
… on constate que le graphe coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 1. Tu vois que, même si nous avons transformé l’équation pour obtenir zéro à droite, on obtient le même résultat – encore le nombre un.
Nombre de solutions d’une équation
À partir de l’interprétation graphique des équations, on peut déduire combien de solutions différentes une équation peut avoir. On peut ainsi répondre facilement aux questions suivantes : chaque équation a-t-elle une solution ? Une équation peut-elle avoir plusieurs solutions ? Une équation peut-elle avoir une infinité de solutions ?
Aucune solution
Commençons dans l’ordre. Existe-t-il une équation sans solution ? Ramenons la question à : existe-t-il deux graphes de fonctions qui ne se coupent jamais ? Bien sûr que oui. Si l’on reste dans le cadre des équations du premier degré, dont les graphes sont des droites, il suffit de prendre des droites parallèles. Par exemple :
Le simple bon sens permet de voir que x + 1 ne peut jamais être égal à x + 2. Si l’on trace le graphe, on obtient :
On voit que ces fonctions sont des droites parallèles, qui ne se coupent donc jamais. L’équation que nous avons construite à partir d’elles n’a donc aucune solution. On peut transformer l’équation ainsi :
On voit que l’équation n’a effectivement aucune solution.
On peut imaginer beaucoup d’autres équations sans solution, par exemple l’équation x2 = x − 1. Les graphes des deux fonctions ne se coupent jamais :
Plusieurs solutions
Une équation peut-elle avoir plus d’une solution (mais toujours moins qu’une infinité) ? Là encore, ramenons la question à : existe-t-il deux graphes de fonctions dont le nombre de points d’intersection est fini et supérieur à un ?
Bien sûr que oui. Dans la partie précédente, nous avons pris comme dernier exemple une équation mettant en jeu une fonction polynôme du second degré et une fonction affine. On peut modifier le graphe précédent en déplaçant la droite de sorte qu’elle coupe le graphe de la fonction du second degré en exactement deux points. Il suffit de prendre y = x à la place de y = x − 1.
On voit que les graphes se coupent en deux points. On pourrait résoudre l’équation ainsi :
Une infinité de solutions
Existe-t-il des équations qui ont une infinité de solutions ? Autrement dit, existe-t-il deux graphes qui se coupent en une infinité de points ? Oui. Il suffit de prendre une fonction périodique et de la couper par une droite de manière appropriée. La fonction périodique typique est le sinus. Le sinus a pour ensemble image l’intervalle [−1 ; 1], et il se répète périodiquement dans cet ensemble.
Il suffit donc de poser sin(x) = a, où a appartient à l’ensemble image. Un exemple concret : sin(x) = 0,5. Voici les graphes des fonctions :
On voit sur la figure que la droite coupe le sinus en plusieurs points. Le sinus continue d’osciller aussi bien vers la droite que vers la gauche, si bien que la droite coupe encore le sinus une infinité de fois, tant à droite qu’à gauche.
Fonctions identiques dans l’équation
Peut-il se produire qu’on puisse substituer à x n’importe quelle valeur du domaine de définition des fonctions et que l’équation reste vraie ? Cela n’arrive que si les deux fonctions sont identiques, ou si l’on peut transformer l’une en l’autre. Prenons l’exemple suivant :
À première vue, chaque membre contient des fonctions différentes, mais si l’on développe la parenthèse du membre de droite, on obtient les mêmes fonctions :
Une telle équation a pour ensemble de solutions le domaine de définition des fonctions, c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels. Une telle équation peut se ramener à la forme 0 = 0.
