Denklem Nedir

Denklem, matematiğin temel kavramlarından biridir ve bütün matematiğin işlemesini sağlayan araçlardan biridir.

Giriş Örneği

Denklemin bir sol tarafı, ardından eşit işareti ve bir sağ tarafı vardır. Çok basit bir denklem şöyle görünebilir:

$$x=2$$

Sol tarafta x değişkeni, ardından eşit işareti ve sağ tarafta 2 sayısı var. Bu denklem basittir ve bize x değişkeninin değerinin 2’ye eşit olduğunu söyler. x değişkeni genellikle aradığımız bir şeyi temsil eder. Örneğin bir gömleğin düğme sayısı ya da bir çalışanın maaşı olabilir.

Ancak bu biçimdeki bir denklem, sorunun verilenleri arasında yer alan bir şeyden çok, bulmak istediğimiz sonuca benzer. Uygulamada genellikle daha karmaşık bir denklemle karşılaşırız. Örneğin beş çalışanın toplam kaç lira kazandığı verilmiştir ve bizden bir çalışanın ne kadar kazandığını bulmamız istenir (hepsinin aynı miktarda kazandığını varsayarak).

Örneğin beş öğretmenin aylık toplam maaşının 300.000 TL olduğunu biliyoruz. Bir öğretmen ne kadar kazanır? Denklemi şöyle kurarız: bir öğretmenin maaşına x diyelim. Böylece şu denklemi elde ederiz:

$$5x=300.000$$

Bu denklem, “beş öğretmenin maaşları toplamı 300.000” verilenlerinin matematiksel yazılışıdır. Amacımız bir öğretmenin maaşını, yani x = ? değerini bulmaktır. Biraz öne geçip denk işlemleri kullanalım ve denklemi 5’e bölelim. Beş öğretmen toplam 300.000 alıyorsa, bir öğretmen bunun beşte birini alır. Sonuçta

$$x=300.000/5$$

ve bölme işleminden sonra

$$x=60.000.$$

Denklemin Tanımı

Denklemi tanımlamak için fonksiyonun ne olduğunu bilmemiz gerekir. Fonksiyonları biliyorsak, denklemi iki fonksiyonun eşitliğinin yazılışı olarak düşünebiliriz:

$$f(x)=g(x)$$

Bu, bir bilinmeyenli denklemin genel yazılışıdır. Sol tarafta f fonksiyonu, sağ tarafta g fonksiyonu var. Amacımız denklemin köklerini bulmaktır; bunlar f ve g fonksiyonlarının aynı değeri aldığı x değerleridir.

Yani şu eşitliği sağlayan belirli x değerlerini arıyoruz; bunlara x₁ diyelim:

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Yardımcı olarak 2x = −4x + 6 denklemini alalım. O zaman f(x) = 2x ve g(x) = −4x + 6 olur. f fonksiyonunun g fonksiyonuyla aynı değeri aldığı x değerlerini arıyoruz. Denklemi denk işlemlerle çözersek şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Denklemin sonucu x = 1 değeridir. Bu değer için iki fonksiyon da aynı değeri vermelidir. f fonksiyonuna 1 değerini verirsek

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

elde ederiz. f fonksiyonu 1 noktasında 2 değerini alır. Peki g fonksiyonu? Onda da 1 değerini verelim:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Yine 2 çıktığını görüyoruz. Demek ki 1 sayısı denklemin köküdür. Bu, denklemin gerçek sayılar kümesindeki tek köküdür. Fonksiyonlara başka bir değer verirsek farklı sonuçlar elde ederiz. Örneğin 5 için şunu buluruz:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Grafiksel Anlamı

Denklemin çözümlerinin güzel ve açık bir grafiksel anlamı vardır. Denklemin sol ve sağ tarafındaki fonksiyonların grafiklerini çizersen, bu grafikler tam olarak denklemin çözümlerinin bulunduğu yerlerde kesişir.

2x = −4x + 6 denklemine dönelim. Sol taraftaki fonksiyon f(x) = 2x, sağ taraftaki fonksiyon g(x) = −4x + 6’dır. Bu denklemin kökünün x = 1 olduğunu biliyoruz. O hâlde bu fonksiyonların 1 noktasında kesişmesi gerekir. Aşağıda iki fonksiyonun grafikleri var:

Doğruların tek bir noktada kesiştiğini görüyorsun; bu noktanın koordinatları (1, 2)’dir. Birinci koordinat x değeridir, yani denklemin köküdür. İkinci koordinat y değeridir, yani fonksiyonlara 1 değerini verdiğinde her ikisinin de aldığı değerdir.

Demek ki denklemin çözümleri, sol ve sağ taraftaki fonksiyonların kesiştiği tüm noktalardır. Denklemleri çoğu zaman sağ tarafı sıfır olacak biçimde düzenleriz; yani sağ taraftaki fonksiyon g(x) = 0 sabit fonksiyonu olur. O zaman sol taraftaki fonksiyonun x eksenini ne zaman kestiğini araştırırız. Önceki 2x = −4x + 6 denklemini sağ tarafı sıfır olacak biçimde şöyle düzenleyebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Sol taraftaki fonksiyonun grafiğini çizersek…

… grafiğin x eksenini 1 noktasında kestiğini görürüz. Denklemi sağ tarafı sıfır olacak biçimde düzenlesek de aynı sonucu, yani yine 1’i bulduğumuzu görüyoruz.

Denklemin Çözüm Sayısı

Denklemlerin grafiksel yorumundan, bir denklemin kaç farklı çözümü olabileceğini çıkarabiliriz. Böylece şu gibi soruları kolayca yanıtlayabiliriz — her denklemin çözümü var mıdır? Bir denklemin birden fazla çözümü olabilir mi? Bir denklemin sonsuz çok çözümü olabilir mi?

Çözümün Olmaması

Sırayla başlayalım. Çözümü olmayan bir denklem var mıdır? Bunu şu soruya indirgeriz — birbirini hiç kesmeyen iki fonksiyon grafiği var mıdır? Elbette vardır. Grafikleri doğru olan birinci dereceden denklemlerde kalırsak, paralel doğruları almak yeterlidir. Örneğin:

$$x+1=x+2$$

Sağduyuyla bile x + 1 ifadesinin aynı anda x + 2 ifadesine eşit olamayacağını anlayabiliriz. Grafiği çizersek şunu elde ederiz:

Fonksiyonların paralel doğrular olduğunu ve bu yüzden hiç kesişmediklerini görüyoruz. Yani bu fonksiyonlardan kurduğumuz denklemin hiç çözümü yoktur. Denklemi şöyle düzenleyebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Denklemin gerçekten hiç çözümü olmadığını görüyoruz.

Çözümü olmayan daha birçok denklem bulabiliriz, örneğin x² = x − 1 denklemi. İki fonksiyonun grafikleri hiçbir zaman kesişmez:

Birden Fazla Çözüm

Bir denklemin birden fazla çözümü olabilir mi? (Ama yine de sonsuzdan az.) Bunu da şu soruya indirgeriz — kesişim noktalarının sayısı sonlu ve aynı zamanda 1’den büyük olan iki fonksiyon grafiği var mı?

Elbette vardır. Önceki bölümde son örnek olarak ikinci dereceden ve doğrusal fonksiyonlu bir denklemimiz vardı. Önceki grafiği, doğruyu ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini tam olarak iki noktada kesecek biçimde kaydırarak değiştirebiliriz. y = x − 1 yerine y = x fonksiyonunu almak yeterlidir.

Grafiklerin iki noktada kesiştiğini görüyoruz. Denklemi şöyle çözebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Sonsuz Çok Çözüm

Sonsuz çok çözümü olan denklemler var mıdır? Yani sonsuz çok noktada kesişen iki grafik var mıdır? Evet, vardır. Periyodik bir fonksiyon alıp ona uygun bir doğru çizmek yeterlidir. Tipik periyodik fonksiyon sinüs fonksiyonudur. Sinüsün görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır ve sinüs bu aralıkta periyodik olarak tekrarlanır.

Bu nedenle sin(x) = a yazmak yeterlidir; burada a görüntü kümesinden bir değerdir. Somut bir örnek şöyle olabilir: sin(x) = 0,5. Fonksiyonların grafikleri:

Şekilde doğrunun sinüsü birkaç noktada kestiğini görüyoruz. Sinüs hem sağa hem sola doğru dalgalanmayı sürdürür; bu yüzden doğru hem sağ tarafta hem sol tarafta sinüsü sonsuz kez daha keser.

Denklemde Aynı Fonksiyonlar

x yerine fonksiyonların tanım kümesinden herhangi bir değer yazabildiğimiz ve denklemin yine de sağlandığı bir durum olabilir mi? Bu ancak iki fonksiyon aynıysa ya da bir fonksiyonu diğerine dönüştürebiliyorsak olur. Örnek:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

İlk bakışta her tarafta farklı fonksiyonlar var, ama sağ taraftaki parantezi açarsak aynı fonksiyonları elde ederiz:

$$2x+4=2x+4$$

Böyle bir denklemin çözüm kümesi fonksiyonların tanım kümesine eşittir; yani çözüm kümesi gerçek sayılar kümesidir. Böyle bir denklem 0 = 0 biçimine getirilebilir.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$