Hvad er en ligning

En ligning er et af de grundlæggende begreber i matematik og et af de redskaber, som hele matematikken hviler på.

Indledende eksempel

En ligning har en venstreside, et lighedstegn og en højreside. En triviel ligning kan se sådan ud:

$$x=2$$

På venstre side står variablen x, så følger lighedstegnet, og på højre side står tallet 2. Denne ligning er enkel og fortæller os, at værdien af variablen x er lig med to. Variablen x repræsenterer så som regel noget, vi leder efter. Det kan for eksempel være antallet af knapper på en skjorte eller en medarbejders løn.

Men en ligning på denne form er snarere noget, vi leder efter, end noget, der står i selve opgaven. I praksis har vi som regel en mere sammensat ligning. Vi får for eksempel at vide, hvor meget fem medarbejdere tjener tilsammen, og vores opgave er at finde ud af, hvor meget én medarbejder tjener (under forudsætning af, at alle tjener lige meget).

Vi ved for eksempel, at fem lærere tjener 225.000 kr. om måneden tilsammen. Hvor meget tjener én lærer? Ligningen opstiller vi sådan her: vi kalder én lærers løn x. Så får vi ligningen:

$$5x=225.000$$

Denne ligning er en matematisk skrivemåde for opgaveteksten »fem lærere har tilsammen en løn på 225.000«. Vores mål er at finde én lærers løn, altså finde værdien af x = ?. Vi springer lidt frem og bruger ækvivalente omformninger af ligninger og dividerer ligningen med fem. Hvis fem lærere får 225.000, får én lærer fem gange mindre. Resultatet er altså

$$x=225.000/5$$

og efter divisionen

$$x=45.000.$$

Definition af en ligning

For at definere begrebet ligning har vi brug for at vide, hvad en funktion er. Hvis vi kender funktioner, kan vi forestille os en ligning som en skrivemåde for, at to funktioner er lig med hinanden:

$$f(x)=g(x)$$

Dette er den generelle skrivemåde for en ligning med én ubekendt. På venstre side har vi funktionen f og på højre side funktionen g. Vores opgave er at finde løsningerne til ligningen, som er de værdier af x, for hvilke funktionerne f og g har samme værdi.

Vi vil altså finde sådanne konkrete værdier af x, jeg kalder dem x₁, for hvilke der gælder

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Vi tager ligningen 2x = −4x + 6 til hjælp. Så ville der gælde, at f(x) = 2x og g(x) = −4x + 6. Vi leder efter de x, for hvilke funktionen f har samme værdi som funktionen g. Når vi løser ligningen ved hjælp af ækvivalente omformninger, får vi:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Løsningen til ligningen er værdien x = 1. For denne værdi bør begge funktioner give os den samme værdi. Hvis vi indsætter 1 i funktionen f, får vi

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

Funktionen f har i punktet 1 værdien 2. Hvad med funktionen g? Vi indsætter 1 i den:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Vi ser, at vi igen fik 2. Tallet 1 er altså en løsning til ligningen. Det er samtidig den eneste løsning i de reelle tal. Hvis vi indsætter en anden værdi i funktionerne, får vi forskellige resultater. For eksempel ville vi for 5 få:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Grafisk betydning

Løsningerne til en ligning har en pæn og tydelig grafisk betydning. Hvis du nemlig tegner graferne for de funktioner, der står på ligningens venstre og højre side, skærer graferne hinanden netop de steder, hvor ligningen har en løsning.

Vi vender tilbage til ligningen 2x = −4x + 6. Funktionen på venstre side er f(x) = 2x, og funktionen på højre side er g(x) = −4x + 6. Vi ved, at løsningen til denne ligning er værdien x = 1. Så burde de to funktioner skære hinanden i punktet 1. Her er en figur af begge funktioners grafer:

Du kan se, at linjerne skærer hinanden i ét punkt, og dette punkt har koordinaterne (1, 2). Den første koordinat er værdien af x, altså ligningens løsning. Den anden koordinat er værdien af y, altså begge funktioners resulterende værdi, hvis du indsætter 1 i dem.

Løsningerne til ligningen er altså alle de punkter, hvor funktionerne på venstre og højre side skærer hinanden. Ofte omformer vi ligninger, så der står nul på højre side, altså den konstante funktion g(x) = 0. Så løser vi, hvornår funktionen på venstre side skærer x-aksen. Den foregående ligning 2x = −4x + 6 kan vi omforme, så der står nul på højre side, sådan her:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Hvis vi tegner grafen for funktionen på venstre side…

… kan vi se, at grafen skærer x-aksen i punktet 1. Vi ser, at selv om vi omformede ligningen, så der står nul på højre side, får vi det samme resultat — igen 1.

Antal løsninger til en ligning

Ud fra den grafiske fortolkning af ligninger kan vi slutte, hvor mange forskellige løsninger en ligning kan have. Vi kan således let besvare spørgsmål som — har enhver ligning en løsning? Kan en ligning have mere end én løsning? Kan en ligning have uendeligt mange løsninger?

Ingen løsning

Vi tager det i rækkefølge. Findes der en ligning, som ikke har nogen løsning? Vi reducerer det til spørgsmålet — findes der to funktionsgrafer, som aldrig skærer hinanden? Selvfølgelig findes der det. Hvis vi bliver ved lineære ligninger, som har linjer som grafer, er det nok at tage linjer, der er parallelle. For eksempel:

$$x+1=x+2$$

Allerede med almindelig sund fornuft kan vi slutte, at x + 1 aldrig kan være lig med x + 2. Når vi tegner grafen, får vi:

Vi ser, at funktionerne er linjer, som er parallelle og derfor aldrig skærer hinanden. Den ligning, vi sammensatte af dem, har altså ingen løsning. Ligningen kan vi omforme sådan her:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Vi ser, at ligningen virkelig ikke har nogen løsning.

Vi kan finde på mange andre ligninger, der ikke har nogen løsning, for eksempel ligningen x² = x − 1. Graferne for begge funktioner skærer aldrig hinanden:

Flere løsninger

Kan en ligning have mere end én løsning? (Men stadig færre end uendeligt mange.) Igen reducerer vi det til spørgsmålet — findes der to funktionsgrafer, som har et endeligt antal skæringspunkter, og hvor antallet af skæringspunkter samtidig er større end én?

Det gør der helt sikkert. I det foregående afsnit havde vi som sidste eksempel en ligning med et andengradspolynomium og en lineær funktion. Den foregående graf kan vi ændre ved at flytte linjen, så den skærer grafen for andengradspolynomiet i præcis to punkter. Det er nok at tage funktionen y = x i stedet for y = x − 1.

Vi ser, at graferne skærer hinanden i to punkter. Ligningen kunne vi løse sådan her:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Uendeligt mange løsninger

Findes der ligninger, som har uendeligt mange løsninger? Altså findes der to grafer, som skærer hinanden i uendeligt mange punkter? Ja, det gør der. Vi skal bare tage en periodisk funktion og lægge en passende linje igennem den. En typisk periodisk funktion er sinus. Sinus har som værdimængde intervallet [−1; 1] og gentager sig periodisk inden for dette interval.

Vi skal så bare sætte sin(x) = a, hvor a ligger i værdimængden. Et konkret eksempel kunne se sådan ud: sin(x) = 0,5. Funktionernes grafer:

Vi ser, at linjen på figuren skærer sinuskurven i flere punkter. Sinus fortsætter sine svingninger både til højre og til venstre, så både på højre og på venstre side skærer linjen sinuskurven uendeligt mange gange.

Ens funktioner i en ligning

Kan der opstå en situation, hvor vi kan indsætte en hvilken som helst værdi fra funktionernes definitionsmængde for x, og ligningen vil gælde? Det sker kun, når de to funktioner er ens, eller når den ene funktion kan omformes til den anden. Et eksempel:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

Ved første øjekast har vi forskellige funktioner på hver side, men hvis vi ganger parentesen på højre side ind, får vi ens funktioner:

$$2x+4=2x+4$$

En sådan ligning har en løsningsmængde, der er lig med funktionernes definitionsmængde, altså er løsningsmængden lig med mængden af reelle tal. En sådan ligning kan omformes til formen 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$