Ce este o ecuație

Ecuația este una dintre noțiunile fundamentale ale matematicii și unul dintre instrumentele datorită cărora funcționează întreaga matematică.

Exemplu introductiv

O ecuație are un membru stâng, apoi semnul egal și un membru drept. O ecuație trivială poate arăta astfel:

$x = 2$

În membrul stâng este variabila x, apoi urmează semnul egal, iar în membrul drept numărul 2. Această ecuație este simplă și ne spune că valoarea variabilei x este egală cu doi. Variabila x reprezintă de obicei ceva ce căutăm. Poate fi, de exemplu, numărul de nasturi de la o cămașă sau salariul unui angajat.

Numai că o ecuație de această formă este mai degrabă ceva ce căutăm, decât ceva ce ne este dat în enunțul unei probleme. În practică avem de obicei o ecuație mai complicată: știm, de exemplu, cât câștigă în total cinci angajați, iar sarcina noastră este să aflăm cât câștigă unul singur (presupunând că toți câștigă la fel).

De exemplu, știm că cinci profesori câștigă împreună 24.000 de lei pe lună. Cât câștigă un profesor? Ecuația o formăm astfel: notăm cu x salariul unui singur profesor. Obținem ecuația:

$5 x = 24.000$

Această ecuație este scrierea matematică a enunțului „cinci profesori au împreună un salariu de 24.000 de lei”. Scopul nostru este să aflăm salariul unui profesor, adică valoarea x = ?. Ne grăbim puțin și folosim transformările echivalente ale ecuațiilor: împărțim ecuația la cinci. Dacă cinci profesori primesc 24.000 de lei, un profesor primește de cinci ori mai puțin. În final avem

$x = 24.000 : 5$

iar după împărțire

$x = 4800.$

Definiția ecuației

Pentru a defini noțiunea de ecuație avem nevoie să știm ce este o funcție. Dacă cunoaștem funcțiile, ne putem imagina ecuația ca scrierea egalității a două funcții:

$f (x) = g (x)$

Aceasta este scrierea generală a unei ecuații cu o necunoscută. În membrul stâng avem funcția f, iar în membrul drept funcția g. Sarcina noastră este să găsim soluțiile ecuației, adică acele valori ale lui x pentru care funcțiile f și g au aceeași valoare.

Deci vrem să găsim valori concrete ale lui x, pe care le notez x₁, pentru care are loc

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Să luăm ca ajutor ecuația 2x = −4x + 6. Atunci f(x) = 2x și g(x) = −4x + 6. Căutăm acele valori x pentru care funcția f are aceeași valoare ca funcția g. Rezolvând ecuația prin transformări echivalente, obținem:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Soluția ecuației este x = 1. Pentru această valoare, cele două funcții ar trebui să dea aceeași valoare. Dacă o calculăm pe f pentru 1, obținem

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Funcția f are în punctul 1 valoarea 2. Dar funcția g? O calculăm tot pentru 1:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Vedem că am obținut din nou 2. Numărul 1 este deci soluție a ecuației. Este totodată unica soluție a ecuației în mulțimea numerelor reale. Dacă am calcula funcțiile pentru o altă valoare, am obține rezultate diferite. De exemplu, pentru 5 am obține:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Semnificația grafică

Soluțiile unei ecuații au o semnificație grafică frumoasă și evidentă. Dacă desenezi graficele funcțiilor din membrul stâng și din membrul drept al ecuației, aceste grafice se intersectează exact în punctele în care ecuația are soluții.

Să revenim la ecuația 2x = −4x + 6. Funcția din membrul stâng este f(x) = 2x, iar cea din membrul drept este g(x) = −4x + 6. Știm că soluția acestei ecuații este x = 1. Ar trebui deci ca în punctul 1 aceste funcții să se intersecteze. Urmează figura cu graficele celor două funcții:

Graficele funcțiilor f(x)=2x (strict crescătoare) și g(x)=-4x+6 (strict descrescătoare)

Vezi că dreptele se intersectează într-un singur punct, iar acest punct are coordonatele (1, 2). Prima coordonată este valoarea x, soluția ecuației. A doua este valoarea y, adică valoarea comună a celor două funcții în 1.

Soluțiile ecuației sunt deci toate punctele în care se intersectează funcțiile din membrul stâng și din membrul drept. Adesea transformăm ecuațiile astfel încât în membrul drept să apară zero, adică funcția constantă g(x) = 0. Atunci căutăm când funcția din membrul stâng intersectează axa Ox. Ecuația de mai înainte, 2x = −4x + 6, o putem aduce la forma cu zero în membrul drept astfel:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Dacă desenăm graficul funcției din membrul stâng…

Graficul funcției f(x)=6x-6

… vedem că graficul intersectează axa Ox în punctul 1. Deși am transformat ecuația astfel încât în membrul drept să fie zero, obținem același rezultat — din nou 1.

Numărul de soluții ale unei ecuații

Din interpretarea grafică a ecuațiilor putem deduce câte soluții diferite poate avea o ecuație. Putem astfel răspunde ușor la întrebări precum: are orice ecuație soluții? Poate o ecuație să aibă mai mult de o soluție? Poate o ecuație să aibă o infinitate de soluții?

Nicio soluție

Să luăm lucrurile pe rând. Există o ecuație care nu are soluții? Reducem întrebarea la: există două grafice de funcții care nu se intersectează niciodată? Bineînțeles că există. Dacă rămânem la ecuațiile de gradul întâi, ale căror grafice sunt drepte, este suficient să luăm drepte paralele. De exemplu:

$x + 1 = x + 2$

Cu simplă logică putem deduce că x + 1 nu poate fi niciodată egal cu x + 2. Dacă desenăm graficul, obținem:

Graficul funcțiilor y=x+1 și y=x+2

Vedem că funcțiile sunt drepte paralele, deci nu se intersectează niciodată. Prin urmare, ecuația formată din ele nu are nicio soluție. Ecuația o putem transforma astfel:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Vedem că ecuația nu are într-adevăr nicio soluție.

Putem născoci multe alte ecuații fără soluții, de exemplu ecuația x² = x − 1. Graficele celor două funcții nu se intersectează niciodată:

Graficul funcției de gradul al doilea y=x^2 și al funcției de gradul întâi y=x-1

Mai multe soluții

Poate o ecuație să aibă mai mult de o soluție? (Dar tot mai puțin decât o infinitate.) Din nou reducem întrebarea la: există două grafice de funcții care au un număr finit de puncte de intersecție, iar acest număr este mai mare decât unu?

Cu siguranță există. În capitolul anterior, ultimul exemplu a fost o ecuație cu o funcție de gradul al doilea și una de gradul întâi. Graficul de mai înainte îl putem modifica deplasând dreapta astfel încât să intersecteze graficul funcției de gradul al doilea chiar în două puncte. Este suficient să luăm funcția y = x în loc de y = x − 1.

Graficul funcției de gradul al doilea y=x^2 și al funcției de gradul întâi y=x

Vedem că graficele se intersectează în două puncte. Ecuația am putea-o rezolva astfel:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

O infinitate de soluții

Există ecuații care au o infinitate de soluții? Adică există două grafice care se intersectează într-o infinitate de puncte? Da, există. Este suficient să luăm o funcție periodică și să o tăiem convenabil cu o dreaptă. O funcție periodică tipică este sinusul. Sinusul are ca imagine intervalul [−1, 1] și în acest interval valorile se repetă periodic.

Este deci suficient să punem sin(x) = a, unde a aparține imaginii funcției. Un exemplu concret ar putea arăta astfel: sin(x) = 0,5. Graficele funcțiilor:

$Graficul funcției trigonometrice y=\sin(x) și al funcției de gradul întâi y=0{,}5, cu punctele de intersecție marcate cu verde$

Vedem în figură că dreapta intersectează sinusul în mai multe puncte. Sinusul continuă să oscileze atât spre dreapta, cât și spre stânga, deci atât în dreapta, cât și în stânga dreapta mai intersectează sinusul de o infinitate de ori.

Funcții identice într-o ecuație

Poate apărea situația în care putem înlocui pe x cu orice valoare din domeniul de definiție al funcțiilor, iar ecuația să fie adevărată? Aceasta se întâmplă doar când cele două funcții sunt identice sau când una dintre ele poate fi transformată în cealaltă. Iată un exemplu:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

La prima vedere avem în fiecare membru funcții diferite, dar dacă desfacem parantezele din membrul drept, obținem aceleași funcții:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

O astfel de ecuație are mulțimea soluțiilor egală cu domeniul de definiție al funcțiilor, deci mulțimea soluțiilor este egală cu mulțimea numerelor reale. O asemenea ecuație poate fi adusă la forma 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Anterior: Ecuații și inecuații

Următor: Transformări echivalente »