Qué es una ecuación

La ecuación es uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas y una de las herramientas gracias a las cuales funciona toda la matemática.

Ejemplo introductorio

Una ecuación tiene su primer miembro (a la izquierda), el signo igual y su segundo miembro (a la derecha). Una ecuación trivial puede tener este aspecto:

$x = 2$

En el primer miembro está la variable x, luego viene el signo igual y en el segundo miembro, el número 2. Esta ecuación es sencilla y nos dice que el valor de la variable x es igual a dos. La variable x suele representar algo que buscamos. Puede ser, por ejemplo, el número de botones de una camisa o el sueldo de un empleado.

Ahora bien, una ecuación de esta forma es más bien algo a lo que queremos llegar que algo que nos den en el enunciado de un problema. En la práctica solemos tener una ecuación más complicada; por ejemplo, nos dicen cuánto ganan en total cinco empleados y nuestra tarea es averiguar cuánto gana uno de ellos (suponiendo que todos ganan lo mismo).

Por ejemplo, sabemos que cinco profesores ganan en total 12.500 euros al mes. ¿Cuánto gana un profesor? La ecuación la planteamos así: llamamos x al sueldo de un profesor. De ahí obtenemos la ecuación:

$5 x = 12.500$

Esta ecuación es la escritura matemática del enunciado «cinco profesores suman un sueldo de 12.500». Nuestro objetivo es averiguar el sueldo de un profesor, es decir, averiguar el valor de x = ?. Vamos a adelantarnos un poco: usaremos las transformaciones equivalentes de ecuaciones y dividiremos la ecuación entre cinco. Si cinco profesores cobran 12.500, un profesor cobra cinco veces menos. Así, el resultado es

$x = 12.500 / 5$

y, después de dividir,

$x = 2500.$

Definición de ecuación

Para definir el concepto de ecuación necesitaremos saber qué es una función. Si conocemos las funciones, podemos imaginar una ecuación como la escritura de la igualdad de dos funciones:

$f (x) = g (x)$

Esta es la escritura general de una ecuación con una incógnita. En el primer miembro tenemos la función f y en el segundo, la función g. Nuestra tarea es encontrar las soluciones de la ecuación, que son los valores de x para los que las funciones f y g tienen el mismo valor.

Es decir, queremos encontrar los valores concretos de x, los llamaré x₁, para los que se cumple

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Tomemos como ayuda la ecuación 2x = −4x + 6. Entonces f(x) = 2x y g(x) = −4x + 6. Buscamos los x para los que la función f tiene el mismo valor que la función g. Si resolvemos la ecuación con transformaciones equivalentes, obtenemos:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

La solución de la ecuación es el valor x = 1. Para este valor, las dos funciones deberían darnos el mismo resultado. Si evaluamos la función f en uno, obtenemos

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

La función f toma en el punto uno el valor dos. ¿Y la función g? La evaluamos en uno:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Vemos que de nuevo hemos obtenido un dos. Así, el número uno es solución de la ecuación. Además, es la única solución de la ecuación en el conjunto de los números reales. Si evaluamos las funciones en otro valor, obtenemos resultados distintos. Por ejemplo, para el cinco obtendríamos:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Significado gráfico

Las soluciones de una ecuación tienen un significado gráfico bonito y evidente. Si dibujas las gráficas de las funciones que aparecen en el primer y en el segundo miembro de la ecuación, esas gráficas se cortarán justo en los puntos donde la ecuación tiene solución.

Volvemos a la ecuación 2x = −4x + 6. La función del primer miembro es f(x) = 2x y la del segundo miembro es g(x) = −4x + 6. Sabemos que la solución de esta ecuación es el valor x = 1. Por tanto, las funciones deberían cortarse en el punto uno. A continuación, la figura con las gráficas de ambas funciones:

Gráficas de las funciones f(x)=2x (creciente) y g(x)=-4x+6 (decreciente)

Ves que las rectas se cortan en un punto, y ese punto tiene coordenadas (1, 2). La primera coordenada es el valor de x, la solución de la ecuación. La segunda es el valor de y, es decir, el valor que toman ambas funciones al evaluarlas en uno.

Las soluciones de la ecuación son, pues, todos los puntos en los que se cortan las funciones del primer y del segundo miembro. A menudo transformamos las ecuaciones de modo que en el segundo miembro quede un cero, es decir, la función constante g(x) = 0. Entonces estudiamos cuándo la función del primer miembro corta al eje de abscisas (eje OX). La ecuación anterior 2x = −4x + 6 podemos transformarla para que en el segundo miembro quede cero así:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Si dibujamos la gráfica de la función del primer miembro…

Gráfica de la función f(x)=6x-6

… vemos que la gráfica corta al eje OX en el punto 1. Vemos que, aunque hayamos transformado la ecuación para que en el segundo miembro quede cero, obtenemos el mismo resultado: de nuevo, uno.

Número de soluciones de una ecuación

De la interpretación gráfica de las ecuaciones podemos deducir cuántas soluciones distintas puede tener una ecuación. Así podemos responder fácilmente a preguntas como estas: ¿tiene solución toda ecuación? ¿Puede una ecuación tener más de una solución? ¿Puede una ecuación tener infinitas soluciones?

Ninguna solución

Empecemos por orden. ¿Existe una ecuación que no tenga solución? Lo reducimos a la pregunta: ¿existen dos gráficas de funciones que no se corten nunca? Por supuesto que existen. Si nos quedamos con las ecuaciones de primer grado, cuyas gráficas son rectas, basta tomar rectas paralelas. Por ejemplo:

$x + 1 = x + 2$

Ya con sentido común podemos deducir que x + 1 nunca puede ser igual a x + 2. Si dibujamos la gráfica, obtenemos:

Gráfica de las funciones y=x+1 e y=x+2

Vemos que las funciones son rectas paralelas y, por tanto, nunca se cortan. Es decir, la ecuación que hemos formado con ellas no tiene ninguna solución. La ecuación podemos transformarla así:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Vemos que la ecuación, efectivamente, no tiene ninguna solución.

Podemos inventar muchas otras ecuaciones sin solución, por ejemplo la ecuación x² = x − 1. Las gráficas de ambas funciones no se cortan nunca:

Gráfica de la función cuadrática y=x^2 y de la función lineal y=x-1

Varias soluciones

¿Puede una ecuación tener más de una solución? (Pero todavía menos que infinitas.) De nuevo lo reducimos a la pregunta: ¿existen dos gráficas de funciones tales que tengan un número finito de puntos de corte y que ese número sea mayor que uno?

Seguro que existen. En el apartado anterior teníamos como último ejemplo una ecuación con una función cuadrática y una lineal. Podemos modificar la gráfica anterior desplazando la recta de modo que corte a la gráfica de la función cuadrática justo en dos puntos. Basta tomar, en lugar de y = x − 1, la función y = x.

Gráfica de la función cuadrática y=x^2 y de la función lineal y=x

Vemos que las gráficas se cortan en dos puntos. La ecuación podríamos resolverla así:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Infinitas soluciones

¿Existen ecuaciones que tengan infinitas soluciones? Es decir, ¿existen dos gráficas que se cortan en infinitos puntos? Sí, existen. Basta tomar una función periódica y cortarla adecuadamente con una recta. La función periódica típica es el seno. El seno tiene como recorrido el intervalo [−1, 1] y en ese recorrido se repite periódicamente.

Basta, pues, plantear sen(x) = a, donde a pertenezca al recorrido. Un ejemplo concreto podría ser este: sen(x) = 0,5. Gráficas de las funciones:

Gráfica de la función trigonométrica y=sen(x) y de la función lineal y=0,5 con los puntos de corte marcados en verde

Vemos que en la figura la recta corta al seno en varios puntos. El seno sigue ondulando tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, de modo que, tanto a la derecha como a la izquierda, la recta cortará todavía al seno infinitas veces.

Funciones iguales en una ecuación

¿Puede darse la situación de que podamos sustituir x por cualquier valor del dominio de las funciones y la ecuación se cumpla? Eso ocurre solo cuando las dos funciones son iguales o cuando una de ellas puede transformarse en la otra. Veamos un ejemplo:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

A primera vista tenemos en cada miembro funciones distintas, pero si quitamos el paréntesis del segundo miembro, obtenemos funciones iguales:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Una ecuación así tiene como conjunto solución el dominio de las funciones, es decir, el conjunto solución es el conjunto de los números reales. Una ecuación así puede transformarse en la forma 0 = 0.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Anterior: Ecuaciones e inecuaciones

Siguiente: Transformaciones equivalentes »