Mikä on yhtälö

Yhtälö on yksi matematiikan peruskäsitteistä ja yksi niistä välineistä, joiden varassa koko matematiikka toimii.

Aloitusesimerkki

Yhtälöllä on vasen puoli, yhtäsuuruusmerkki ja oikea puoli. Yksinkertaisin yhtälö voi näyttää tältä:

$$x=2$$

Vasemmalla puolella on muuttuja x, sen jälkeen tulee yhtäsuuruusmerkki ja oikealla puolella on luku 2. Tämä yhtälö on yksinkertainen ja kertoo meille, että muuttujan x arvo on kaksi. Muuttuja x esittää yleensä jotakin, mitä etsitään. Se voi olla esimerkiksi paidan nappien lukumäärä tai työntekijän palkka.

Yhtälö tässä muodossa on kuitenkin pikemminkin jotakin, mitä etsitään, kuin jotakin, mikä olisi annettu tehtävänannossa. Käytännössä yhtälö on yleensä monimutkaisempi. Esimerkiksi tiedetään, kuinka paljon viisi työntekijää ansaitsee yhteensä, ja tehtävänä on selvittää, kuinka paljon yksi työntekijä ansaitsee (olettaen, että kaikki ansaitsevat yhtä paljon).

Tiedetään esimerkiksi, että viisi opettajaa ansaitsee yhteensä 17 500 euroa kuukaudessa. Kuinka paljon yksi opettaja ansaitsee? Muodostetaan tästä yhtälö seuraavasti: merkitään yhden opettajan palkkaa kirjaimella x. Saadaan yhtälö:

$$5x=17500$$

Tämä yhtälö on matemaattinen merkintä tehtävänannolle ”viiden opettajan palkat ovat yhteensä 17 500”. Tavoitteena on selvittää yhden opettajan palkka eli arvo x = ?. Hieman ennakoiden käytetään yhtälön yhtäpitäviä muunnoksia ja jaetaan yhtälö viidellä. Jos viisi opettajaa saa yhteensä 17 500, yksi opettaja saa siitä viidesosan. Lopputuloksena on

$$x=17500/5$$

ja jaon jälkeen

$$x=3500.$$

Yhtälön määritelmä

Yhtälön määrittelemiseksi on tiedettävä, mikä on funktio. Jos funktiot tunnetaan, yhtälön voi ajatella kahden funktion yhtäsuuruutena:

$$f(x)=g(x)$$

Tämä on yhden tuntemattoman yhtälön yleinen muoto. Vasemmalla puolella on funktio f ja oikealla puolella funktio g. Tehtävänä on löytää yhtälön ratkaisut, eli ne x:n arvot, joilla funktioilla f ja g on sama arvo.

Halutaan siis löytää sellaiset tietyt x:n arvot, merkitään niitä x₁, joilla pätee

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Otetaan avuksi yhtälö 2x = −4x + 6. Tällöin f(x) = 2x ja g(x) = −4x + 6. Etsitään sellaisia x:n arvoja, joilla funktiolla f on sama arvo kuin funktiolla g. Ratkaisemalla yhtälö yhtäpitävillä muunnoksilla saadaan:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Yhtälön ratkaisu on x = 1. Tällä arvolla molempien funktioiden pitäisi saada sama arvo. Kun lasketaan funktion f arvo kohdassa yksi, saadaan

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

Funktion f arvo kohdassa yksi on kaksi. Entä funktion g? Lasketaan sen arvo kohdassa yksi:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Saatiin jälleen kaksi. Luku yksi on siis yhtälön ratkaisu. Se on samalla ainoa yhtälön ratkaisu reaalilukujen joukossa. Jos funktioiden arvot laskettaisiin jossakin muussa kohdassa, tulokset olisivat erilaiset. Esimerkiksi kohdassa viisi saataisiin:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Graafinen merkitys

Yhtälön ratkaisuilla on kaunis ja selvä graafinen merkitys. Jos piirrät yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien funktioiden kuvaajat, kuvaajat leikkaavat toisensa täsmälleen niissä kohdissa, joissa yhtälöllä on ratkaisu.

Palataan yhtälöön 2x = −4x + 6. Vasemmalla puolella oleva funktio on f(x) = 2x ja oikealla puolella oleva funktio on g(x) = −4x + 6. Tiedetään, että tämän yhtälön ratkaisu on x = 1. Pitäisi siis päteä, että nämä funktiot leikkaavat kohdassa yksi. Seuraavassa kuvassa ovat molempien funktioiden kuvaajat:

Näet, että suorat leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, ja tämän pisteen koordinaatit ovat (1, 2). Ensimmäinen koordinaatti on x:n arvo eli yhtälön ratkaisu. Toinen arvo on y:n arvo eli molempien funktioiden lopullinen arvo, kun ne lasketaan kohdassa yksi.

Yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki pisteet, joissa vasemman ja oikean puolen funktiot leikkaavat. Yhtälöt muokataan usein sellaiseen muotoon, että oikealla puolella on nolla eli vakiofunktio g(x) = 0. Silloin selvitetään, missä kohdassa vasemman puolen funktio leikkaa x-akselin. Edellisen yhtälön 2x = −4x + 6 voi muokata muotoon, jossa oikealla puolella on nolla, seuraavasti:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Jos piirretään vasemman puolen funktion kuvaaja…

… huomataan, että kuvaaja leikkaa x-akselin kohdassa 1. Vaikka yhtälö muokattiin niin, että oikealla puolella on nolla, saadaan sama tulos — jälleen yksi.

Yhtälön ratkaisujen lukumäärä

Yhtälöiden graafisesta tulkinnasta voidaan päätellä, kuinka monta erilaista ratkaisua yhtälöllä voi olla. Näin voidaan helposti vastata kysymyksiin kuten — onko jokaisella yhtälöllä ratkaisu? Voiko yhtälöllä olla useampi kuin yksi ratkaisu? Voiko yhtälöllä olla äärettömän monta ratkaisua?

Ei ratkaisua

Aloitetaan järjestyksessä. Onko olemassa yhtälöä, jolla ei ole ratkaisua? Kysymys palautuu seuraavaan — onko olemassa kaksi funktiota, joiden kuvaajat eivät koskaan leikkaa? Tietysti on. Jos pysytään ensimmäisen asteen yhtälöissä, joiden kuvaajat ovat suoria, riittää ottaa suorat, jotka ovat yhdensuuntaiset. Esimerkiksi:

$$x+1=x+2$$

Jo tervejärjellä voi päätellä, että x + 1 ei voi koskaan olla yhtä suuri kuin x + 2. Piirretään kuvaaja:

Nähdään, että funktiot ovat yhdensuuntaisia suoria, jotka eivät siis koskaan leikkaa. Niistä muodostetulla yhtälöllä ei siis ole ratkaisua. Yhtälöä voi muokata näin:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Nähdään, että yhtälöllä todella ei ole ratkaisua.

Voidaan keksiä paljon muitakin yhtälöitä, joilla ei ole ratkaisua, esimerkiksi yhtälö x² = x − 1. Funktioiden kuvaajat eivät leikkaa koskaan:

Useita ratkaisuja

Voiko yhtälöllä olla useampi kuin yksi ratkaisu? (Mutta silti äärellisen monta.) Kysymys palautuu jälleen seuraavaan — onko olemassa kaksi funktiota, joiden kuvaajilla on äärellisen monta leikkauspistettä ja leikkauspisteitä on samalla enemmän kuin yksi?

Varmasti on. Edellisen luvun viimeisessä esimerkissä oli yhtälö, jossa oli toisen asteen funktio ja ensimmäisen asteen funktio. Edellistä kuvaajaa voi muuttaa siirtämällä suoraa niin, että se leikkaa toisen asteen funktion kuvaajan täsmälleen kahdessa pisteessä. Riittää ottaa funktion y = x − 1 tilalle funktio y = x.

Nähdään, että kuvaajat leikkaavat kahdessa pisteessä. Yhtälön voisi ratkaista näin:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Äärettömän monta ratkaisua

Onko olemassa yhtälöitä, joilla on äärettömän monta ratkaisua? Onko siis olemassa kaksi kuvaajaa, jotka leikkaavat äärettömän monessa pisteessä? Kyllä on. Riittää ottaa jokin jaksollinen funktio ja leikata sitä sopivalla suoralla. Tyypillinen jaksollinen funktio on sini. Sinin arvojoukko on väli [−1, 1], ja tällä välillä se toistuu jaksollisesti.

Riittää siis asettaa sin(x) = a, missä a kuuluu arvojoukkoon. Konkreettinen esimerkki voisi olla sin(x) = 0,5. Funktioiden kuvaajat:

Nähdään, että kuvaajassa suora leikkaa sinikäyrän useassa pisteessä. Sini jatkaa aaltoiluaan sekä oikealle että vasemmalle, joten sekä oikealla että vasemmalla puolella suora leikkaa sinikäyrän vielä äärettömän monta kertaa.

Samat funktiot yhtälössä

Voiko syntyä tilanne, jossa x:n paikalle voi sijoittaa minkä tahansa funktioiden määrittelyjoukkoon kuuluvan arvon ja yhtälö pätee? Näin käy vain silloin, kun molemmat funktiot ovat samat tai kun toisen funktion voi muokata toisen muotoon. Esimerkki:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

Ensi silmäyksellä kummallakin puolella on eri funktio, mutta kun kerrotaan oikealla puolella sulut auki, saadaan samat funktiot:

$$2x+4=2x+4$$

Tällaisen yhtälön ratkaisujoukko on sama kuin funktioiden määrittelyjoukko, eli ratkaisujoukko on reaalilukujen joukko. Tällainen yhtälö voidaan muokata muotoon 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$