Mi az az egyenlet

Az egyenlet a matematika egyik alapfogalma, és egyike azoknak az eszközöknek, amelyeknek köszönhetően az egész matematika működik.

Bevezető példa

Az egyenletnek van bal oldala, egyenlőségjele és jobb oldala. Egy triviális egyenlet így nézhet ki:

$x = 2$

A bal oldalon az x változó áll, utána az egyenlőségjel, a jobb oldalon pedig a 2 szám. Ez az egyenlet egyszerű, és azt mondja, hogy az x változó értéke kettő. Az x változó általában valamit jelöl, amit keresünk. Lehet például egy ingen lévő gombok száma vagy egy alkalmazott fizetése.

Csakhogy az ilyen alakú egyenletet inkább keressük, mint hogy a feladat szövegében szerepelne. A gyakorlatban többnyire bonyolultabb egyenletet kapunk: például megmondják, hogy öt alkalmazott összesen mennyit keres, és ki kell találnunk, mennyit keres egy alkalmazott (feltéve, hogy mindenki ugyanannyit keres).

Tegyük fel például, hogy öt tanár együtt havi 1 500 000 forintot keres. Mennyit keres egy tanár? Az egyenletet így állítjuk fel: x-szel jelöljük egy tanár fizetését. Ebből ez az egyenlet adódik:

$5 x = 1 500 000$

Ez az egyenlet a feladat szövegének matematikai felírása: „öt tanár fizetése összesen 1 500 000”. A célunk az, hogy megtudjuk egy tanár fizetését, vagyis az x = ? értékét. Kicsit előreszaladunk, és használjuk az egyenletek ekvivalens átalakításait: az egyenletet elosztjuk öttel. Ha öt tanár együtt 1 500 000 forintot kap, akkor egy tanár ötször kevesebbet kap. Ezt kapjuk:

$x = 1 500 000 / 5$

és osztás után

$x = 300 000.$

Az egyenlet definíciója

Az egyenlet fogalmának meghatározásához tudnunk kell, mi az a függvény. Ha ismerjük a függvényeket, akkor az egyenletet két függvény egyenlőségeként képzelhetjük el:

$f (x) = g (x)$

Ez az egyismeretlenes egyenlet általános felírása. A bal oldalon az f függvény áll, a jobb oldalon a g függvény. A feladatunk az, hogy megtaláljuk az egyenlet gyökeit, vagyis azokat az x értékeket, amelyekre az f és a g függvény értéke megegyezik.

Olyan konkrét x értékeket keresünk tehát, jelöljük őket x₁-gyel, amelyekre teljesül, hogy

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

Vegyük segítségül a 2x = −4x + 6 egyenletet. Ekkor f(x) = 2x és g(x) = −4x + 6. Olyan x-eket keresünk, amelyekre az f függvény értéke egyenlő a g függvény értékével. Ha az egyenletet ekvivalens átalakításokkal megoldjuk, ezt kapjuk:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

Az egyenlet megoldása tehát x = 1. Erre az értékre mindkét függvénynek ugyanazt az értéket kell adnia. Ha az f függvénybe egyet helyettesítünk, azt kapjuk, hogy

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Az f függvény értéke az egynél kettő. És mi a helyzet a g függvénnyel? Helyettesítsünk egyet ebbe is:

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

Látjuk, hogy ismét kettőt kaptunk. Az egy tehát gyöke az egyenletnek. Ez egyben az egyetlen gyök a valós számok halmazán. Ha a függvényekbe másik értéket helyettesítünk, különböző eredményeket kapunk. Például az ötnél:

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

Grafikus jelentés

Az egyenletek megoldásának szép és szemléletes grafikus jelentése van. Ha ugyanis lerajzolod az egyenlet bal és jobb oldalán álló függvények grafikonját, akkor ezek a grafikonok éppen ott metszik egymást, ahol az egyenletnek megoldása van.

Térjünk vissza a 2x = −4x + 6 egyenlethez. A bal oldali függvény f(x) = 2x, a jobb oldali függvény g(x) = −4x + 6. Tudjuk, hogy az egyenlet gyöke az x = 1 érték. Tehát azt várjuk, hogy a két függvény az egynél metszi egymást. Itt van a két függvény grafikonja:

Az f(x)=2x (szigorúan monoton növekvő) és a g(x)=-4x+6 (szigorúan monoton csökkenő) függvény grafikonja

Látod, hogy az egyenesek egyetlen pontban metszik egymást, és ennek a pontnak a koordinátái (1; 2). Az első koordináta az x értéke, az egyenlet gyöke. A második az y értéke, vagyis a két függvény közös értéke, ha egyet helyettesítesz beléjük.

Az egyenlet megoldásai tehát mindazok a pontok, ahol a bal és a jobb oldali függvény metszi egymást. Az egyenleteket gyakran úgy alakítjuk át, hogy a jobb oldalon nulla legyen, vagyis a g(x) = 0 konstans függvény álljon. Ekkor azt keressük, hol metszi a bal oldali függvény az x tengelyt. Az előbbi 2x = −4x + 6 egyenletet így alakíthatjuk át, hogy a jobb oldalon nulla legyen:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

Ha lerajzoljuk a bal oldali függvény grafikonját…

Az f(x)=6x-6 függvény grafikonja

… azt látjuk, hogy a grafikon az x tengelyt az 1-nél metszi. Látható, hogy bár úgy alakítottuk át az egyenletet, hogy a jobb oldalon nulla álljon, ugyanazt az eredményt kaptuk – megint az egyet.

Az egyenlet megoldásainak száma

Az egyenletek grafikus értelmezéséből arra következtethetünk, hány különböző megoldása lehet egy egyenletnek. Így könnyen válaszolhatunk olyan kérdésekre, mint: Minden egyenletnek van megoldása? Lehet egy egyenletnek egynél több megoldása? Lehet egy egyenletnek végtelen sok megoldása?

Nincs megoldás

Haladjunk sorban. Létezik olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása? Ezt visszavezetjük arra a kérdésre, hogy létezik-e két olyan függvény, amelyek grafikonjai sosem metszik egymást. Persze hogy létezik. Ha maradunk az elsőfokú egyenleteknél, amelyeknek a grafikonja egyenes, elég két párhuzamos egyenest venni. Például:

$x + 1 = x + 2$

Már a józan eszünkkel is beláthatjuk, hogy az x + 1 sosem lehet egyenlő az x + 2 kifejezéssel. Ha lerajzoljuk a grafikont, ezt kapjuk:

Az y=x+1 és az y=x+2 függvény grafikonja

Látjuk, hogy a függvények párhuzamos egyenesek, ezért sosem metszik egymást. Az egyenletnek, amelyet belőlük állítottunk össze, tehát nincs megoldása. Az egyenletet így alakíthatjuk át:

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

Látjuk, hogy az egyenletnek valóban nincs megoldása.

Sok más olyan egyenletet is kitalálhatunk, amelynek nincs megoldása, például az x² = x − 1 egyenletet. A két függvény grafikonja sosem metszi egymást:

Az y=x^2 másodfokú függvény és az y=x-1 lineáris függvény grafikonja

Több megoldás

Lehet egy egyenletnek egynél több megoldása? (De még mindig véges sok.) Ezt megint arra a kérdésre vezetjük vissza, hogy létezik-e két olyan függvény, amelyek grafikonjainak véges számú metszéspontja van, és ez a szám egynél nagyobb.

Biztosan léteznek. Az előző fejezet utolsó példájában egy másodfokú és egy lineáris függvény szerepelt. Az előző grafikont úgy módosíthatjuk, hogy az egyenest eltoljuk, és így pontosan két pontban messe a másodfokú függvény grafikonját. Elég az y = x − 1 helyett az y = x függvényt venni.

Az y=x^2 másodfokú függvény és az y=x lineáris függvény grafikonja

Látjuk, hogy a grafikonok két pontban metszik egymást. Az egyenletet így oldhatjuk meg:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

Végtelen sok megoldás

Léteznek olyan egyenletek, amelyeknek végtelen sok megoldásuk van? Vagyis léteznek olyan grafikonok, amelyek végtelen sok pontban metszik egymást? Igen, léteznek. Elég egy periodikus függvényt venni, és egy alkalmas egyenessel metszeni. A tipikus periodikus függvény a szinusz. A szinusz értékkészlete a [−1; 1] intervallum, és ezen belül ismétlődik periodikusan.

Elég tehát felírni, hogy sin x = a, ahol a az értékkészletből való. Egy konkrét példa: sin x = 0,5. A függvények grafikonja:

$Az y=\sin x szögfüggvény és az y=0{,}5 lineáris függvény grafikonja, a metszéspontok zölddel megjelölve$

Az ábrán látjuk, hogy az egyenes több pontban metszi a szinuszgörbét. A szinusz jobbra is, balra is hullámzik tovább, ezért az egyenes mind a jobb, mind a bal oldalon még végtelen sokszor metszi a szinuszgörbét.

Azonos függvények az egyenletben

Előfordulhat, hogy az x helyére a függvények értelmezési tartományának bármelyik értékét behelyettesíthetjük, és az egyenlet igaz marad? Ez csak akkor áll fenn, ha a két függvény megegyezik, vagy ha az egyiket átalakíthatjuk a másikba. Lássunk egy példát:

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

Első pillantásra a két oldalon különböző függvények állnak, de ha a jobb oldalon felbontjuk a zárójelet, azonos függvényeket kapunk:

$2 x + 4 = 2 x + 4$

Ennek az egyenletnek a megoldáshalmaza megegyezik a függvények értelmezési tartományával, vagyis a megoldáshalmaz a valós számok halmaza. Az ilyen egyenlet átalakítható 0 = 0 alakra.

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

« Előző: Egyenletek és egyenlőtlenségek

Következő: Ekvivalens átalakítások »