Vad är en ekvation

Ekvationen är ett av matematikens grundläggande begrepp och ett av de redskap som får hela matematiken att fungera.

Inledande exempel

En ekvation har ett vänsterled, ett likhetstecken och ett högerled. En trivial ekvation kan se ut så här:

$$x=2$$

I vänsterledet står variabeln x, sedan kommer likhetstecknet och i högerledet talet 2. Ekvationen är enkel och säger att variabeln x har värdet två. Variabeln x står oftast för något som vi söker. Det kan till exempel vara antalet knappar på en skjorta eller en anställds lön.

En ekvation i den här formen är dock oftare något vi söker än något som står i uppgiften. I praktiken har vi vanligen en mer komplicerad ekvation. Vi kan till exempel veta hur mycket fem anställda tjänar tillsammans och ska ta reda på hur mycket en anställd tjänar (förutsatt att alla tjänar lika mycket).

Säg att fem lärare tillsammans tjänar 175 000 kr i månaden. Hur mycket tjänar en lärare? Vi ställer upp ekvationen så här: vi kallar en lärares lön för x. Då får vi ekvationen

$$5x=175000$$

Ekvationen är en matematisk skrivning av uppgiften ”fem lärare har tillsammans lönen 175 000”. Vi vill ta reda på en lärares lön, alltså värdet på x = ?. Vi hoppar lite före och använder ekvivalenta omformningar av ekvationer och dividerar ekvationen med fem. Om fem lärare får 175 000 får en lärare en femtedel så mycket. Resultatet blir

$$x=175000/5$$

och efter divisionen

$$x=35000.$$

Definition av en ekvation

För att definiera begreppet ekvation behöver vi veta vad en funktion är. Känner vi till funktioner kan vi se en ekvation som en likhet mellan två funktioner:

$$f(x)=g(x)$$

Det här är den allmänna skrivningen av en ekvation med en obekant. I vänsterledet har vi funktionen f och i högerledet funktionen g. Vår uppgift är att hitta lösningarna till ekvationen, alltså de värden på x för vilka funktionerna f och g har samma värde.

Vi vill alltså hitta sådana konkreta värden på x, som jag kallar x₁, för vilka det gäller att

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Vi tar ekvationen 2x = −4x + 6 till hjälp. Då är f(x) = 2x och g(x) = −4x + 6. Vi söker de x för vilka funktionen f har samma värde som funktionen g. Löser vi ekvationen med ekvivalenta omformningar får vi:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

Lösningen på ekvationen är x = 1. För det värdet ska båda funktionerna ge samma resultat. Sätter vi in 1 i funktionen f får vi

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

Funktionen f har alltså värdet två i punkten ett. Hur blir det med funktionen g? Vi sätter in 1 även i den:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Vi ser att vi åter fick två. Talet ett är alltså en lösning till ekvationen. Det är dessutom den enda lösningen bland de reella talen. Om vi sätter in något annat värde i funktionerna får vi olika resultat. För talet fem skulle vi till exempel få:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Grafisk betydelse

Lösningarna till en ekvation har en fin och tydlig grafisk betydelse. Ritar du graferna till funktionerna i ekvationens vänsterled och högerled skär graferna varandra just där ekvationen har sina lösningar.

Vi återvänder till ekvationen 2x = −4x + 6. Funktionen i vänsterledet är f(x) = 2x och funktionen i högerledet är g(x) = −4x + 6. Vi vet att lösningen är x = 1. Då ska funktionerna skära varandra i punkten ett. Här är en figur med graferna till båda funktionerna:

Du ser att linjerna skär varandra i en punkt och att punkten har koordinaterna (1, 2). Den första koordinaten är värdet på x, alltså lösningen till ekvationen. Det andra värdet är värdet på y, alltså det gemensamma funktionsvärdet när du sätter in 1.

Lösningarna till ekvationen är alltså alla punkter där funktionerna i vänsterledet och högerledet skär varandra. Ofta formar vi om ekvationen så att högerledet blir noll, alltså den konstanta funktionen g(x) = 0. Då undersöker vi när funktionen i vänsterledet skär x-axeln. Den förra ekvationen 2x = −4x + 6 kan vi forma om så att högerledet blir noll på följande sätt:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Om vi ritar grafen till funktionen i vänsterledet …

… ser vi att grafen skär x-axeln i punkten 1. Trots att vi formade om ekvationen så att högerledet blev noll får vi alltså samma resultat, åter ett.

Antal lösningar

Av den grafiska tolkningen kan vi dra slutsatser om hur många olika lösningar en ekvation kan ha. Då kan vi enkelt besvara frågor som: Har varje ekvation en lösning? Kan en ekvation ha mer än en lösning? Kan en ekvation ha oändligt många lösningar?

Ingen lösning

Vi tar det i tur och ordning. Finns det en ekvation som saknar lösning? Det är samma sak som att fråga: finns det två funktionsgrafer som aldrig skär varandra? Naturligtvis gör det det. Håller vi oss till linjära ekvationer, vars grafer är räta linjer, räcker det att ta linjer som är parallella. Till exempel:

$$x+1=x+2$$

Med sunt förnuft kan vi se att x + 1 aldrig kan vara lika med x + 2. Ritar vi en graf får vi:

Vi ser att funktionerna är räta linjer som är parallella och därför aldrig skär varandra. Ekvationen vi satte ihop av dem saknar alltså lösning. Ekvationen kan vi forma om så här:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Vi ser att ekvationen verkligen saknar lösning.

Vi kan hitta på många fler ekvationer som saknar lösning, till exempel ekvationen x² = x − 1. Graferna till de båda funktionerna skär aldrig varandra:

Flera lösningar

Kan en ekvation ha mer än en lösning? (Men fortfarande färre än oändligt många.) Vi omformulerar frågan: finns det två funktionsgrafer som har ett ändligt antal skärningspunkter, och fler än en?

Det gör det säkert. I förra avsnittet hade vi som sista exempel en ekvation med en andragradsfunktion och en linjär funktion. Vi kan ändra grafen genom att flytta linjen så att den skär andragradsfunktionens graf i exakt två punkter. Det räcker att ta funktionen y = x i stället för y = x − 1.

Vi ser att graferna skär varandra i två punkter. Ekvationen kan vi lösa så här:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Oändligt många lösningar

Finns det ekvationer som har oändligt många lösningar? Alltså, finns det två grafer som skär varandra i oändligt många punkter? Ja, det gör det. Det räcker att ta någon periodisk funktion och lägga en lämplig linje genom den. En typisk periodisk funktion är sinus. Sinus har värdemängden intervallet [−1, 1] och upprepas periodiskt inom den.

Det räcker att sätta sin(x) = a, där a ligger i värdemängden. Ett konkret exempel är sin(x) = 0,5. Funktionernas grafer:

Vi ser att linjen i figuren skär sinuskurvan i flera punkter. Sinuskurvan fortsätter att svänga både åt höger och åt vänster, så både till höger och till vänster skär linjen sinuskurvan oändligt många gånger till.

Samma funktioner i ekvationen

Kan det hända att vi kan sätta in vilket värde som helst ur funktionernas definitionsmängd för x och ekvationen ändå gäller? Det inträffar bara om de båda funktionerna är lika, eller om vi kan forma om den ena funktionen till den andra. Ett exempel:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

Vid första anblicken har vi olika funktioner i varje led, men multiplicerar vi in i parentesen i högerledet får vi samma funktioner:

$$2x+4=2x+4$$

En sådan ekvation har en lösningsmängd som är lika med funktionernas definitionsmängd, alltså är lösningsmängden lika med mängden av reella tal. En sådan ekvation kan formas om till 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$