O que é uma equação

A equação é um dos conceitos fundamentais da matemática e um dos recursos que fazem toda a matemática funcionar.

Exemplo introdutório

Uma equação tem o seu primeiro membro, depois o sinal de igualdade e o segundo membro. Uma equação trivial pode ser assim:

$$x=2$$

No primeiro membro está a variável x, depois vem o sinal de igualdade e, no segundo membro, o número 2. Essa equação é simples e nos diz que o valor da variável x é igual a dois. A variável x costuma representar algo que procuramos. Pode ser, por exemplo, o número de botões de uma camisa ou o salário de um funcionário.

Só que uma equação nesse formato é mais algo que procuramos do que algo que viria no enunciado de um problema. Na prática, em geral temos uma equação mais complicada: por exemplo, sabemos quanto cinco funcionários ganham no total e a nossa tarefa é descobrir quanto ganha um funcionário (supondo que todos ganhem o mesmo).

Por exemplo, sabemos que cinco professores ganham juntos R$ 20.000 por mês. Quanto ganha um professor? Montamos a equação assim: chamamos de x o salário de um professor. Com isso obtemos a equação:

$$5x=20.000$$

Essa equação é a escrita matemática do enunciado “cinco professores recebem, no total, 20.000”. Nosso objetivo é descobrir o salário de um professor, isto é, determinar o valor de x = ?. Vamos nos adiantar um pouco e usar as transformações equivalentes de equações, dividindo a equação por cinco. Se cinco professores recebem 20.000, então um professor recebe cinco vezes menos. No fim temos

$$x=20.000/5$$

e, depois da divisão,

$$x=4.000.$$

Definição de equação

Para definir o conceito de equação, precisamos saber o que é uma função. Se conhecemos as funções, podemos imaginar a equação como a escrita da igualdade de duas funções:

$$f(x)=g(x)$$

Essa é a escrita geral de uma equação com uma incógnita. No primeiro membro temos a função f e, no segundo, a função g. Nossa tarefa é encontrar as raízes da equação, que são os valores de x para os quais as funções f e g têm o mesmo valor.

Ou seja, queremos encontrar valores concretos de x, que vou chamar de x₁, para os quais vale

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Vamos usar como apoio a equação 2x = −4x + 6. Então teríamos f(x) = 2x e g(x) = −4x + 6. Procuramos os x para os quais a função f tem o mesmo valor que a função g. Resolvendo a equação com transformações equivalentes, obtemos:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

A solução da equação é o valor x = 1. Para esse valor, as duas funções devem retornar o mesmo resultado. Se calcularmos a função f para o valor um, obtemos

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

A função f tem, no ponto um, o valor dois. E a função g? Calculamos para o valor um:

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

Vemos que de novo obtivemos o dois. Assim, o número um é raiz da equação. Ele é, ao mesmo tempo, a única raiz da equação no conjunto dos números reais. Se calculássemos as funções para outro valor, obteríamos resultados diferentes. Por exemplo, para o cinco teríamos:

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

Significado gráfico

As soluções de uma equação têm um significado gráfico bonito e evidente. Se você desenhar os gráficos das funções que aparecem no primeiro e no segundo membro da equação, esses gráficos vão se cruzar exatamente nos pontos em que a equação tem solução.

Voltemos à equação 2x = −4x + 6. A função do primeiro membro é f(x) = 2x e a função do segundo membro é g(x) = −4x + 6. Sabemos que a raiz dessa equação é o valor x = 1. Portanto, os gráficos dessas funções devem se cruzar no ponto de abscissa um. Veja a figura com os gráficos das duas funções:

Você vê que as retas se cruzam em um único ponto, e esse ponto tem coordenadas (1, 2). A primeira coordenada é o valor de x, a raiz da equação. O segundo valor é o valor de y, isto é, o valor final das duas funções quando você as calcula para o valor um.

As soluções da equação são, assim, todos os pontos em que as funções do primeiro e do segundo membro se cruzam. Muitas vezes transformamos a equação de modo que o segundo membro seja zero, isto é, a função constante g(x) = 0. Então resolvemos quando a função do primeiro membro cruza o eixo x. A equação anterior, 2x = −4x + 6, pode ser transformada para que o segundo membro seja zero assim:

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

Se desenharmos o gráfico da função do primeiro membro…

… veremos que o gráfico cruza o eixo x no ponto 1. Vemos que, mesmo transformando a equação para que o segundo membro fosse zero, obtivemos o mesmo resultado: de novo o um.

Número de soluções de uma equação

A partir da interpretação gráfica das equações, podemos concluir quantas soluções diferentes uma equação pode ter. Assim, podemos responder facilmente a perguntas como: toda equação tem solução? Uma equação pode ter mais de uma solução? Uma equação pode ter infinitas soluções?

Nenhuma solução

Vamos por partes. Existe uma equação que não tem solução? Reduzimos isso à pergunta: existem dois gráficos de funções que nunca se cruzam? Claro que existem. Se ficarmos nas equações do 1º grau, cujos gráficos são retas, basta tomar retas paralelas. Por exemplo:

$$x+1=x+2$$

Só com o bom senso já podemos concluir que x + 1 nunca pode ser igual a x + 2. Quando desenhamos o gráfico, obtemos:

Vemos que as funções são retas paralelas e, por isso, nunca se cruzam. Ou seja, a equação que montamos com elas não tem nenhuma solução. Podemos transformar a equação assim:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

Vemos que a equação realmente não tem nenhuma solução.

Podemos inventar muitas outras equações sem solução, por exemplo a equação x² = x − 1. Os gráficos das duas funções nunca se cruzam:

Várias soluções

Uma equação pode ter mais de uma solução? (Mas ainda menos que infinitas.) De novo reduzimos isso à pergunta: existem dois gráficos de funções que têm um número finito de pontos de interseção, sendo esse número maior que um?

Com certeza existem. No capítulo anterior, o último exemplo foi uma equação com uma função quadrática e uma função afim. Podemos modificar o gráfico anterior deslocando a reta de modo que ela cruze o gráfico da função quadrática exatamente em dois pontos. Basta tomar a função y = x no lugar de y = x − 1.

Vemos que os gráficos se cruzam em dois pontos. A equação poderia ser resolvida assim:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Infinitas soluções

Existem equações com infinitas soluções? Ou seja, existem dois gráficos que se cruzam em infinitos pontos? Sim, existem. Basta pegar uma função periódica e cruzá-la de forma adequada com uma reta. Uma função periódica típica é o seno. O seno tem como conjunto imagem o intervalo [−1, 1] e, nesse conjunto, se repete periodicamente.

Basta então tomar sen(x) = a, em que a pertence ao conjunto imagem. Um exemplo concreto seria sen(x) = 0,5. Gráficos das funções:

Vemos na figura que a reta cruza o seno em vários pontos. O seno continua ondulando tanto para a direita quanto para a esquerda, de modo que, dos dois lados, a reta ainda vai cruzar o seno infinitas vezes.

Funções iguais na equação

Pode acontecer de podermos colocar no lugar de x qualquer valor do domínio das funções e a equação ser verdadeira? Isso só ocorre quando as duas funções são iguais ou quando conseguimos transformar uma função na outra. Por exemplo:

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

À primeira vista temos funções diferentes em cada membro, mas, se eliminarmos os parênteses no segundo membro, obtemos funções iguais:

$$2x+4=2x+4$$

Uma equação assim tem o conjunto solução igual ao domínio das funções, isto é, o conjunto solução é igual ao conjunto dos números reais. Uma equação dessas pode ser transformada até a forma 0 = 0.

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$