수열의 규칙 찾기 문제 푸는 법

수열의 규칙 찾기 문제는 여러 가지 논리 시험에 나온다. 몇 개의 수가 차례로 주어지고, 그 뒤에 논리적으로 이어질 수를 채워 넣는 문제이다. 이 글에서는 이런 문제를 푸는 방법을 알아본다.

문제

수열의 규칙 찾기 문제는 보통 다음과 같다.

$2, 4, 6, 8, 10, ?$

물음표 자리에 가장 그럴듯한 수를 찾아 넣어야 한다. 그러려면 주어진 수들 사이의 특징적인 규칙을 찾아 빠진 수를 계산해야 한다. 이 경우 답은 12이다. 수열의 각 수가 바로 앞의 수보다 항상 2만큼 크기 때문이다.

답이 하나로 정해지지 않을 수도 있다. 그 선택을 설득력 있게 설명할 수만 있다면 물음표에 어떤 수를 넣어도 된다고 할 수 있다.

가장 쉬운 수열은 어떤 수를 계속 더하는 수열이다. 예를 들어 보자.

$3, 10, 17, 24, ?$

여기서는 항상 7을 더하므로 물음표 자리에는 31이 온다. 다른 예:

$- 8, - 5, - 2, 1, ?$

항상 3을 더하므로 다음 수는 4이다. 다른 예:

$17, 8, - 1, - 10, ?$

이 수열에서는 −9를 더한다. 즉 9를 뺀다. 다음 수는 −19이다. 다른 예:

$2, 4, 8, 16, ?$

이번에는 더하지 않고 곱한다. 각 수는 앞의 수의 두 배이므로 답은 32이다. 다른 예:

$27, 9, 3, 1, ?$

이 수열에서는 거꾸로 3으로 나눈다. 답은 $\frac{1}{3}$ 이다. 일정하지 않은 수를 더할 수도 있다.

$2, 4, 7, 9, 12, ?$

+2와 +3을 번갈아 더한다. 즉 2에 +2를 더해 4를 얻고, 다시 +3을 더해 7을 얻는 식이다. 12에 2를 더하면 14이다. 다른 예:

$5, 6, 8, 11, 15, 20, ?$

이 수열에서는 +1부터 시작해 더하는 수를 한 단계마다 1씩 늘린다. 즉 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11과 같이 계속한다. 마지막에는 6을 더하므로 답은 20 + 6 = 26이다. 다른 예:

$1, 2, 6, 12, 36, 72, ?$

2를 곱하는 것과 3을 곱하는 것을 번갈아 한다. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12와 같이 계속한다. 마지막에는 3을 곱하므로 답은 216이다.

수열과 연산은 더 다양하게 조합할 수 있다. 예를 들어 한 번은 더하고 한 번은 곱할 수 있다.

$3, 12, 14, 56, 58, 232, ?$

여기서는 먼저 4를 곱하고, 다음 단계에서 2를 더한다. 즉 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56과 같이 계속한다. 마지막에는 2를 더하므로 답은 234이다. 비슷한 예:

$3, 9, 5, 15, 11, 33, 29, ?$

먼저 3을 곱하고, 이어서 4를 뺀다. 즉 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15와 같이 계속한다. 마지막에는 3을 곱하므로 답은 87이다.

한 수열 속에 저마다 규칙이 있는 수열 두 개가 섞여 있을 수도 있다. 예:

$2, 1, 4, 6, 8, 11, 16, 16, 32, ?$

홀수 번째 자리에는 익숙한 수열 2, 4, 8, 16, 32가 있다. 각 수가 앞의 수의 두 배이다. 짝수 번째 자리에는 1, 6, 11, 16, ? 수열이 있다. 항상 5를 더하는 수열이다. 따라서 답은 16 + 5 = 21이다. 예를 하나 더 보자.

$2, 7, 3, 11, 5, 15, 8, 19, 12, ?$

이 수열에서는 두 개의 수열을 찾을 수 있다. 홀수 번째 자리에는 2, 3, 5, 8, 12가 있는데, 더하는 수가 한 단계마다 1씩 커지는 수열이다. 짝수 번째 자리에는 7, 11, 15, 19, ? 수열이 있다. 4를 계속 더할 뿐이다. 답은 23이다.

알아 둘 만한 잘 알려진 수열이 몇 가지 있다.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …: 자연수의 제곱으로 이루어진 수열이다. 다르게 쓰면 1², 2², 3², 4², 5², …이다. 수열에 이런 수, 특히 큰 수가 보이면 제곱이 관련되어 있을 가능성이 꽤 높다.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …: 잘 알려진 피보나치 수열이다. 각 수는 바로 앞의 두 수의 합이다. 뒤에서부터 보면 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5와 같다. 처음 두 수 0과 1은 정해져 있다.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …: 소수로 이루어진 수열이다. 1은 소수가 아니라는 점만 주의하자.
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, …: 계승으로 이루어진 수열이다. n번째 수는 곱 1 · 2 · 3 · … · n이다. 예를 들어 네 번째 수는 24인데, 1 · 2 · 3 · 4 = 24이다.

예:

$17, 3, 6, 14, - 3, 23, 19, ?$

첫 번째와 두 번째 자리의 수를 더하면 20이 된다: 17 + 3 = 20. 그다음 쌍도 마찬가지이다: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. 따라서 물음표 자리에는 1이 와야 한다. 다른 예:

$?, 7, 12, 4, 5, 9, 6, - 1, 5$

이 수열은 세 수씩 묶어 a, b, c로 나누면 a + b = c가 성립한다. 즉 ?+7 = 12, 4 + 5 = 9이다. 따라서 물음표 자리에는 5가 온다. 다른 예:

$2, 4, 10, 28, ?$

여기서는 곱하기와 빼기의 두 연산을 함께 썼다. 앞의 수에 3을 곱하고 2를 빼면 다음 수가 된다. 즉 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2이다. 다음 수는 28 · 3 − 2 = 82이다.

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