수학 도구
인터넷에는 공부에 도움이 되는 도구가 많다. 수학 문제를 순식간에 계산해 주는 프로그램이 많고, 그 가운데에는 풀이 과정까지 보여 주어 내용을 더 잘 익히게 해 주는 것도 있다.
Wolfram Alpha
Wolfram Alpha는 현재(2011년) 수학 계산을 위한 온라인 도구 가운데 아마 가장 뛰어난 도구로, wolframalpha.com에서 쓸 수 있다. 화면은 모두 영어이지만, 보통은 계산하려는 식을 입력란에 쓰기만 하면 Wolfram Alpha가 알아서 처리한다. 몇 가지 핵심 단어를 알아 두면 편리하다. 예를 들어 미분하려면 식 앞에 “derive”라고 쓰면 된다.
Wolfram Alpha에는 예제가 잔뜩 들어 있는 꽤 잘 만든 도움말이 있고, 순수한 수학 예제도 있다.
몇 가지 예를 들어 보자. 다음과 같은 연립방정식이 있다고 하자.
Wolfram Alpha에 “x+y=0, x+2y=2”라고 입력하고 웹사이트에서 결과를 확인해 보자. 그래프를 이용한 풀이와 최종 결과가 모두 나온다. 다음 함수의 도함수를 구하고 싶다면
입력란에 “derive ((2x+3)/(x-2)^2)*log x”라고 쓰고 이번에도 웹사이트에서 결과를 확인하면 된다. “Show steps”를 누르면 Wolfram Alpha가 도함수를 구한 과정도 단계별로 보여 준다.
Wolfram Alpha는 수학 도구에 그치지 않으며, 다른 질문도 할 수 있다. 예를 들어 스카이넷이 있는지, 프랑스의 수도는 어디인지 물어볼 수도 있다.
Limit Calculator
함수의 극한을 계산해 주는 온라인 도구이다. 한쪽 극한과 양측 극한을 모두 계산한다. 도구는 numberempire.com에 있다. 화면은 매우 간단하다. 위쪽 입력란에는 극한을 구할 함수를 쓰고, 아래쪽 두 입력란 가운데 하나에는 극한을 구할 변수(기본값 x로 충분할 것이다)를, 다른 하나에는 그 변수가 한없이 가까워지는 값을 쓴다. 목록에서 양측 극한 “two-sided”나 한쪽 극한을 고를 수 있다.
GeoGebra
GeoGebra는 간단한 작도를 위한 프로그램이다. Java로 만들어져 있어 이를 싫어하는 사람도 있을 것이다. 하지만 대부분은 Java가 무엇인지 모를 테니 상관없다 :-). 프로그램은 홈페이지 geogebra.org에서 내려받을 수 있다.
우선 두 점을 정해 직선, 반직선, 선분을 그릴 수 있다. 먼저 두 점을 클릭하면 프로그램이 두 점을 직선으로 잇는다. 나중에 기준이 되는 점 하나의 위치를 바꾸면 모든 직선이 그에 따라 움직인다는 것이 큰 장점이다. 일반적으로 어떤 도형을 이루는 점의 위치를 바꾸면, 가능한 경우 도형도 함께 바뀐다. 선분은 두 점을 모두 정하지 않고 길이를 입력해서 그릴 수도 있다. GeoGebra는 벡터도 다룰 수 있다.
그 밖에 다각형, 여러 가지 각, 평행선, 수선도 다룬다. 원도 여러 가지 방법으로 쉽게 그릴 수 있다. GeoGebra는 그린 도형의 거리나 넓이도 재어 준다. 체크박스를 만들어 그림의 원하는 부분을 보이거나 숨길 수도 있다.
각에 관한 글의 그림을 이 프로그램으로 그렸으니, 결과물이 어떤 모습인지 확인해 볼 수 있다.