공식을 한 문자에 대하여 풀기

복잡한 관계식이나 분수 꼴의 식을 특정한 한 문자에 대하여 푸는 방법을 알아보자. 이 기법은 문자가 여러 개 들어 있는 공식을 다룰 때 특히 많이 쓴다. 다른 공식과 함께 쓰면 놀라운 일도 해낼 수 있어서, 아무것도 없는 데서 모든 것을 이끌어 내기도 한다.

간단한 일차식

다음 식을 생각하자: ax + b = c. 이 가상의 식을 x에 대하여 풀려면 어떻게 해야 할까? 항상 구하려는 문자가 들어 있는 항을 모두 좌변으로, 나머지를 우변으로 옮기는 것부터 시작한다. 이론적으로는 어느 쪽에 무엇을 두든 상관없지만, 구하려는 미지수를 좌변에 두는 것이 관례이다. 먼저 b를 우변으로 옮긴다. 즉 양변에 −b를 더한다.

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

문자가 들어 있는 항은 한쪽으로 모았지만, 아직 a가 남아 있다. 어떻게 하면 깔끔하게 없앨 수 있을까? 식 ax를 어떻게 해야 x만 남을까? 그렇다. 이 항을, 따라서 방정식 전체를 a로 나눈다. 즉 $\frac{1}{a}$을 곱한다. 이때 a는 0이 아니어야 한다(0으로 나눌 수 없다). 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

끝났다. 다른 예제를 보자.

$$2ax-3bx=10a$$

이번에도 x에 대하여 풀어야 한다. 미지수가 들어 있는 항은 이미 좌변에 있으므로 수고를 조금 덜었다. 그런데 미지수가 들어 있는 항이 두 개라는 점이 까다롭다. 이 문제는 공통인수로 묶어 해결한다. 좌변에서 x를 공통인수로 묶어 내면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

앞의 예제에서는 ax에서 x만 남기려고 방정식 전체에 $\frac{1}{a}$을 곱했다. 이번에는 방정식에 x(2a − 3b)가 있고, 역시 x를 구하려고 한다. 같은 방법으로 방정식 전체를 (2a − 3b)로 나눈다. 걱정할 필요 없다. 괄호 전체로 방정식을 나누어도 된다. 다만 2a − 3b ≠ 0이어야 한다.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

분수

분수가 있는 식에서도 같은 방정식의 변형을 쓴다. 다만 잘못해서 0으로 나누거나 0을 곱하지 않도록 조심해야 한다. 예:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

x에 대하여 풀려고 한다. 방정식 전체에 x를 곱하는데, 이때 x ≠ 0이라는 가정을 덧붙여야 한다. 이 가정은 어차피 성립한다. 방정식에 분수 $\frac{a}{x}$가 있어 x가 분모에 있고, 0으로는 나눌 수 없기 때문이다. 그러면 다음 방정식을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

요컨대 미지수에 대하여 풀 때는 평소처럼 동치인 방정식으로 변형하는 방법을 쓰면 된다.