계승(팩토리얼)

수 n의 계승은 n 이하의 모든 자연수의 곱이다. 계승은 느낌표를 써서 n!로 나타내고 “n 팩토리얼”이라고 읽는다. 0에 대해서는 0! = 1로 정한다. 계승은 주로 경우의 수에서 쓰이며, 가령 순열의 수를 계산할 때 쓴다. 예를 들어 5의 계승은 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120이다.

계승의 정의

계승은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 가장 간단한 정의는 다음과 같다.

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{n = 0일 때}\\ n\cdot (n-1)!& \text{그 밖의 경우}\end{array}$$

곱의 기호를 써서 정의할 수도 있다.

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

또는 적분을 이용할 수도 있다.

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

계승의 계산

계승은 분수 꼴의 식에서 자주 계산한다. 이때 n! = n · (n − 1)!이라는 사실을 이용한다. 이 식은 정의에서 바로 나오는데, 예로 확인해 보자. 4의 계승 4!은 자연수의 곱 4 · 3 · 2 · 1과 같다. 그런데 곱 3 · 2 · 1은 3의 계승과 같다: 3 · 2 · 1 = 3!. 따라서 4의 계승은 4! = 4 · 3!로 쓸 수 있다.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

이 성질을 이용하면 분수 속의 여러 계승을 효과적으로 약분할 수 있다. 예제: 다음 식을 간단히 하시오.

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

앞에서 말한 식을 이용해 간단히 한다. 분자의 계승은 n · (n − 1)!로 나눌 수 있고, 같은 식을 한 번 더 쓰면 n · (n − 1) · (n − 2)!로 바꿔 쓸 수 있다. 이제 분수를 깔끔하게 약분할 수 있다.

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

다른 예제:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

계승에 관한 마지막 예제:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$