부분공간

부분공간은 어떤 벡터공간의 부분집합 가운데 덧셈과 스칼라배에 대해 여전히 닫혀 있는 것이다.

정의

어떤 벡터공간 V가 있다고 하자. 그러면 부분공간 W는 공간 V의 부분집합이면서 그 자체로 벡터공간인 집합 W이다. 따라서 공집합이 아닌 부분집합 W ⊆ V가 공간 V의 부분공간이려면 다음 두 조건을 만족해야 한다. 모든 x, y ∈ W와 모든 a ∈ ℝ에 대해

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

즉 V에서 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있는 벡터들의 부분집합을 골라야 한다.

공간 R³의 부분공간

공간 ℝ³를 잡고 부분공간을 찾아보자.

1. 예를 들어 a ∈ ℝ일 때 (a, a, a) 꼴의 순서쌍 전체는 어떨까? 즉 $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$이나 (−π, −π, −π) 같은 것이다. 이 부분공간을 W₁이라고 하면 이것은 공간 ℝ³의 부분집합, 즉 W₁ ⊆ ℝ³이다. ℝ³에는 세 실수의 순서쌍이 모두 들어 있기 때문이다.

이 공간은 벡터의 덧셈에 대해 닫혀 있다. 다음이 성립하기 때문이다.

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

두 벡터를 더하면 다시 세 성분이 같은 새 벡터를 얻고, 이런 벡터는 집합 W₁에 들어 있다. 그러니 집합 W₁은 부분공간의 첫 번째 조건을 만족한다. 두 번째 조건도 만족할까?

만족한다. k배를 하면 벡터의 세 성분이 모두 바뀌지만 똑같이 바뀌기 때문이다.

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

이번에도 세 성분이 모두 같은 벡터를 얻고, 이런 벡터는 집합 W₁에 있다. 따라서 집합 W₁은 ℝ³의 부분공간이다.

• a, b, c ∈ [−1, 1]인 순서쌍 (a, b, c) 전체를 잡아 보자. 이 집합을 W₂로 나타내는데, 그 원소는 예를 들어 $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$이나 $(0,\frac{\pi }{4},1)$이다. W₂의 원소들은 덧셈에 대해 닫혀 있을까? 분명히 아니다. $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$는 순서쌍 $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$와 같은데, 이것은 W₂에 속하지 않는다. 따라서 집합 W₂는 공간 ℝ³의 부분공간이 아니고, 애초에 W₂는 공간을 이루지 않는다.

• 이번에는 a, b ∈ ℝ일 때 (a, 0, b) 꼴의 순서쌍 전체를 잡는다. 두 번째 성분이 0인 순서쌍 전체이다. 이 집합을 W₃이라고 하자. 이 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있을까? 닫혀 있다. 다음이 성립하기 때문이다.

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

결과는 두 번째 성분이 0이고 나머지 두 성분이 실수인 순서쌍 (a + c, 0, b + d)이다. 이 순서쌍은 분명히 W₃에 있다. W₃은 곱셈에 대해 닫혀 있을까? 닫혀 있다. 다음이 성립하기 때문이다.

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

이번에도 두 번째 성분이 언제나 0이고 나머지 성분이 실수인 순서쌍 (k · a, 0, k · b)를 얻는다. 이런 순서쌍은 W₃의 원소이다. 따라서 집합 W₃은 공간 ℝ³의 부분공간을 이룬다. 순서쌍이 (a, b, 0)이나 (a, 0, 0) 꼴이어도 부분공간을 이룬다는 점에 주목하자.

다항식의 부분공간

앞의 글에서 다항식으로 이루어진 벡터공간을 보았다. 다시 말하면, 다항식은 다음 꼴의 식이다.

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

a_n ≠ 0이라고 가정한다. 그러면 이 다항식의 차수는 n이다. 실수 a₀, …, a_n을 다항식의 계수라고 한다. 다항식의 예로 식 4 + 3x − 7x²을 들 수 있다. 부분공간을 찾아보자. 모든 다항식의 벡터공간 P(x)가 있다고 하자.

1. 먼저 n ≥ 0일 때 n차 다항식 전체의 집합을 생각하고, 이 집합을 W₁이라고 하자. 앞의 글에서 이것은 애초에 벡터공간이 아니라고 했으므로 공간 P(x)의 부분공간일 리도 없다. 다시 정리하면, 예를 들어 W₁의 다항식에 0을 곱하면 다항식 p(x) = 0을 얻는데, 이 다항식의 차수는 정의에 따라 −1이다. 그러니 이 원소는 어떤 W₁에도 들어 있지 않다.

2. W₂로 차수가 n 이하인 다항식 전체를 잡아 보자. 그러면 n = 2일 때 W₂에는 차수가 2, 1, 0, −1인 다항식이 모두 들어 있다. 이 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있을까? 닫혀 있다. 두 n차 다항식의 합의 차수는 결코 n보다 커지지 않고 작아질 수만 있기 때문이다. 마찬가지로 이 집합은 곱셈에 대해서도 닫혀 있다. 다항식 p(x)의 k배는 차수가 같은 다항식이거나 영다항식이기 때문이다. 두 경우 모두 집합 W₂에 들어 있으므로 W₂는 공간 P(X)의 부분공간을 이룬다.

부분공간의 기본 성질

벡터공간 V와 그 부분공간 W₁, W₂가 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 교집합 W₁ ∩ W₂는 V의 부분공간이다.

   벡터공간 ℝ³와, a, b ∈ ℝ일 때 W₁은 (a, b, 0) 꼴의 순서쌍으로, W₂는 (a, 0, b) 꼴의 순서쌍으로 이루어진 부분공간 W₁과 W₂가 있다고 하자. 그러면 교집합 W₁ ∩ W₂는 (a, 0, 0) 꼴의 순서쌍으로 이루어진 집합이다. 이 집합은 분명히 공간 ℝ³의 부분공간이다.

   하지만 이것은 물론 증명이 아니다. 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터공간 V와 그 두 부분공간 W₁, W₂를 잡는다. 이제 모든 x, y ∈ W₁ ∩ W₂에 대해 x + y ∈ W₁ ∩ W₂임을 증명하려고 한다.

   벡터 x와 y는 교집합 W₁ ∩ W₂에 들어 있으므로 x, y ∈ W₁이고 동시에 x, y ∈ W₂여야 한다(교집합의 정의에서 나온다). W₁과 W₂는 벡터공간이기도 하므로 x + y ∈ W₁이고 동시에 x + y ∈ W₂여야 한다(벡터공간의 정의에서 나온다). 그런데 이제 x + y ∈ W₁이고 동시에 x + y ∈ W₂이므로 x + y ∈ W₁ ∩ W₂이다(역시 교집합의 정의에 따른다. 원소가 집합 W₁에도 있고 집합 W₂에도 있으면 두 집합의 교집합에도 있어야 한다).

   다음으로 곱셈에 대해 닫혀 있는지 확인해야 한다. 모든 k ∈ ℝ과 x ∈ W₁ ∩ W₂에 대해 k · x ∈ W₁ ∩ W₂임을 증명해야 한다. 방법은 같다. x ∈ W₁ ∩ W₂이므로 x ∈ W₁이고 x ∈ W₂이다. W₁과 W₂는 공간이므로 k · x ∈ W₁이고 동시에 k · x ∈ W₂이며, 따라서 k · x ∈ W₁ ∩ W₂이다. □

2. 합집합 W₁ ∪ W₂는 V의 부분공간이 아닐 수도 있다.

   두 번째 성질을 증명하려면 알맞은 반례를 찾기만 하면 된다. 각각 (a, b, 0) 꼴과 (a, 0, b) 꼴의 순서쌍으로 이루어진 앞의 공간 W₁과 W₂로 충분하다. 두 공간의 합집합을 구하면 두 번째나 세 번째 자리에 0이 있는 순서쌍 전체를 얻는다. 그러니 벡터 (1, 0, 1)과 (1, 1, 0)은 분명히 합집합 W₁ ∪ W₂에 있다. 그런데 두 벡터의 합은 벡터 (2, 1, 1)인데, 이 벡터에는 0이 하나도 없다. 이 벡터는 W₁에도 W₂에도 없으므로 W₁ ∪ W₂에도 있을 수 없다. 합이 같은 집합에 속하지 않는 두 벡터를 찾았으므로 이 집합은 벡터공간일 수 없다.