생성

어떤 벡터들의 집합이 있을 때 그 벡터들의 일차결합을 모두 구하면 이 벡터들의 집합의 생성(span)을 얻는다.

생성의 정의

벡터 x₁, …, x_n이 있다고 하자. 이 벡터들로 일차결합을 만들어 새 벡터를 얻을 수 있다는 것은 이미 안다. 실수 a₁, …, a_n을 고르고, 곱하고 더해서 새 벡터 y를 얻는다.

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

벡터 x_i 가운데 적어도 하나가 영벡터가 아니면, 이 방법으로 벡터들의 집합 x₁, …, x_n에서 ‘다른’ 벡터를 무수히 많이 만들 수 있다. 계수 a₁, …, a_n을 적당히 다르게 고르기만 하면 된다.

벡터를 계속 만들어 나가면 결국 벡터 x₁, …, x_n의 일차결합으로 얻을 수 있는 벡터를 모두 얻는다. 이 집합을 벡터 x₁, …, x_n의 생성이라고 한다. 벡터들의 집합 X의 생성은 꺾쇠괄호를 써서 ⟨X⟩로 나타낸다. 벡터가 유한 개라면 생성은 형식적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

벡터들의 집합 X가 무한집합이라면, 유한 부분집합 Y_i ⊆ X, 즉 어떤 r ∈ ℕ에 대해 |Y_i| = r인 부분집합을 모두 잡고, 모든 집합 ⟨Y_i⟩의 합집합을 집합 X의 생성으로 삼는다.

예

익숙한 벡터공간 ℝ³에서 생각하자. 원소가 하나인 집합 X₁ = {(1, 2, 1)}을 잡고, 이 집합의 생성이 무엇인지 알아보자. 벡터 (1, 2, 1)의 모든 일차결합이다. 이 생성은 다음과 같다.

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

즉 (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) 같은 꼴의 벡터들이다. 이 가운데 두 벡터를 더하면 같은 꼴의 새 벡터가 나온다는 것을 확인해 보자.

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

두 번째 예로 기본적인 벡터들 X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}을 들 수 있다. 일차결합을 모두 구하면 a, b ∈ ℝ일 때 (a, b, 0) 꼴이라는 것을 알 수 있다. 다음이 성립하므로 쉽게 보일 수 있다.

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

그러니 이 생성의 벡터는 예를 들어 (0, 8, 0), (14, 15, 0) 등이다. 형식적으로는 다음과 같이 쓴다.

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

가장 작은 부분공간으로서의 생성

벡터공간 V와 어떤 벡터들의 집합 X ⊆ V가 있다고 하자. 그러면 생성 ⟨X⟩는 공간 V의 부분공간이다. 즉 생성 ⟨X⟩는 벡터공간이다.

생성 ⟨X⟩가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다는 것만 보이면 된다. 이것은 분명하다. 어떤 벡터 x ∈ ⟨X⟩든 X의 벡터들의 일차결합으로 생겼기 때문이다.

집합 X의 생성은 또 집합 X의 벡터를 모두 포함하는 가장 작은 부분공간이다. 왜일까? X의 벡터를 포함하는 가장 작은 부분공간은 X의 벡터들의 일차결합도 모두 포함해야 한다. 그렇지 않으면 벡터공간이 아니다. 귀류법으로, X의 벡터를 모두 포함하는, 즉 X ⊆ Y인 더 작은 부분공간 Y가 있다고 가정하자. 가정에 따라 Y는 생성 ⟨X⟩보다 작으므로 ⟨X⟩에는 있지만 Y에는 없는 벡터 x가 있어야 한다. 즉 x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y이다.

그런데 벡터 x는 X의 벡터들의 일차결합으로 만들 수 있어야 하므로 다음을 만족하는 벡터 x₁, …, x_n ∈ X와 계수 a₁, …, a_n이 있어야 한다.

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

그런데 Y가 벡터 x₁, …, x_n은 포함하면서 이 벡터 x는 포함하지 않는다면 Y는 벡터공간일 수 없고, 따라서 부분공간도 아니다. 그러므로 생성 ⟨X⟩는 X의 벡터를 모두 포함하는 가장 작은 부분공간이다.

생성의 기본 성질

• 언제나 W ⊆ ⟨W⟩이다. 이것은 분명할 것이다. 집합 W의 생성은 언제나 집합 W와 같거나 더 크다. 생성 ⟨W⟩는 W의 벡터들의 일차결합을 모두 포함하므로 ⟨W⟩는 W의 벡터도 모두 포함해야 한다. 어떤 벡터 x ∈ W를 잡으면 a = 1일 때 일차결합 a · x = x를 얻기 때문이다.

  예: 집합 W = {(1, 0, 0)}의 생성은 다음 집합이다.

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  분명히 {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}이다.

• 언제나 ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩이다. 생성을 한 번 구하면 그 생성의 생성은 같은 생성이다. ⟨W⟩는 W의 일차결합을 모두 포함한다. ⟨W⟩의 일차결합을 다시 모두 구해도 새로운 것은 하나도 얻지 못한다.

• 어떤 벡터공간 V와 이 공간의 두 부분집합(부분공간일 필요는 없다) W₁, W₂, 즉 W₁, W₂ ⊆ V가 있다고 하자. W₁ ⊆ W₂이기도 하면 ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩도 성립한다.

  다르게 말하면, 벡터들의 집합이 두 개 있고 그 가운데 하나가 더 작으면, 이 작은 벡터들의 집합의 생성은 큰 집합의 생성보다 작거나 같다.

  예: W₁ = {(1, 0, 0)}이고 W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}이라고 하자. W₁ ⊆ W₂임을 알 수 있다. 생성은 어떻게 될까?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  예상한 대로 벡터들의 집합 W₂가 집합 W₁보다 ‘더 큰 생성을 만들었다’. 집합 W₂에는 집합 W₁의 벡터가 모두 들어 있으므로 W₁의 벡터들의 일차결합은 모두 W₂의 벡터로도 만들 수 있다.

  다른 예: W₃ = {(1, 2, 0)}이고 W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}이다. 한눈에 W₄의 벡터들이 종속이라는 것을 알 수 있다. 그래서 두 집합은 같은 생성을 만든다. 즉 W₃ ⊂ W₄이지만 ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩이다.