기저

벡터공간 V의 기저는 일차독립인 벡터들의 집합으로, 그 생성이 공간 V이다.

기저를 도입하는 동기

어떤 벡터공간 V와, 생성 ⟨W⟩가 공간 V와 같은, 즉 ⟨W⟩ = V인 어떤 부분집합 W ⊂ V가 있다고 하자. 예: W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)}이고 V = ℝ²라고 하자.

분명히 ⟨W⟩ = ℝ²이다. 집합 W에는 벡터가 세 개뿐인데도 생성 덕분에 이 집합으로 무한한 벡터들의 집합 ℝ² 전체를 나타낼 수 있다. 그러면 이런 질문이 떠오른다. 성질 ⟨W⟩ = ℝ²를 유지하면서 집합 W에서 벡터를 더 뺄 수 있을까?

예를 들어 마지막 벡터 (2, 3)을 빼면 집합 W₁ = {(1, 0), (0, 1)}을 얻는다. 이 집합의 생성도 ℝ²이다. 그래서 이런 질문이 생긴다. 생성이 집합 ℝ²인 가장 작은 벡터들의 집합은 무엇일까?

W₁에서 남은 두 벡터 가운데 어느 것이라도 빼면 그 집합(이것을 W₂라고 하자)의 생성은 더는 집합 ℝ²가 아니다. 예를 들어 집합 W₂ = {(1, 0)}의 생성은 집합 ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ}이다. 이것은 분명히 집합 ℝ²와 같지 않다. 예를 들어 벡터 (0, 1)이 빠져 있다.

그러니 집합 W₁ = {(1, 0), (0, 1)}은 생성이 공간 ℝ²인 벡터들의 집합 가운데 극소인 집합이다. 이어서 다음 질문을 생각할 수 있다.

1. 생성이 공간 ℝ²인, 전혀 다른 원소 하나짜리 집합이 있을까?
2. 생성이 공간 ℝ²인 가장 작은 벡터들의 집합이 하나로 정해질까?

타블로이드 신문의 제목이 질문 꼴이면 답은 아니다라는 것은 누구나 아는데, 이번에도 마찬가지이다. 생성이 ℝ²인 원소 하나짜리 집합은 없다. 다음과 같이 증명할 수 있다.

생성이 ℝ²인 원소 하나짜리 집합이 있을까?

벡터 x 하나로 이루어진 집합 {x}가 있고, 이 벡터의 일차결합 전체가 공간 ℝ²를 이룬다고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 실수 a₁, a₂가 있어야 한다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

왜 하필 이 벡터들일까? 어떤 벡터를 고르든 상관없고, 일차독립이기만 하면 된다.

x = (x₁, x₂)라고 하자. 그러면 분명히 x₁, x₂ ≠ 0이다. x₁ = 0이면 벡터 x의 일차결합으로 원하는 벡터 (1, 0)을 얻을 수 없기 때문이다. x₂도 마찬가지이다. 앞의 연립방정식을 풀어 쓰자.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

이것을 방정식으로 풀어 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

두 번째와 세 번째 방정식에서 a₁ = a₂ = 0이 나온다. x₁, x₂ ≠ 0이므로 곱 a₁ · x₂와 a₂ · x₁이 0이 되려면 a₁ = a₂ = 0일 수밖에 없기 때문이다. 그런데 이것은 첫 번째와 네 번째 방정식에 모순이다. a₁ = 0이면 a₁ · x₁ = 0인데, 첫 번째 방정식은 a₁ · x₁ = 1이라고 하기 때문이다.

따라서 원소 하나짜리 집합의 생성은 결코 공간 ℝ²가 될 수 없다.

생성이 ℝ²인 가장 작은 벡터들의 집합이 하나로 정해질까?

이 성질을 가진 원소 하나짜리 집합은 없다는 것과, 집합 W = {(1, 0), (0, 1)}의 생성이 ℝ²라는 것을 안다. 그러면 이 집합이 생성이 ℝ²인 유일한 원소 두 개짜리 집합인지 묻게 된다.

물론 아니다. 다른 원소 두 개짜리 집합 W = {(2, 0), (0, 2)}의 생성도 ℝ²이기 때문이다. a ∈ ℝ, a ≠ 0일 때 벡터 (a, 0), (0, a)의 쌍은 모두 생성이 ℝ²이다. 사실 일차독립인 벡터의 쌍은 모두 생성이 ℝ²이다. 그러니 생성으로 ℝ²를 만들어 내는 원소 두 개짜리 집합은 무수히 많다.

또 원소가 세 개인 부분집합 W₃ ⊆ ℝ²는 모두 종속인 벡터들로 이루어진다. 왜일까? 벡터 세 개 (a, b), (c, d), (e, f)가 있으면 이것을 행렬로 쓸 수 있다.

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

이 행렬의 계수는 많아야 2이므로 반드시 일차종속인 열(벡터)이 있다.

기저의 정의

벡터공간 V가 있고 B ⊆ V라고 하자. 다음이 성립하면 B를 벡터공간 V의 기저라고 한다.

1. ⟨B⟩ = V
2. B는 일차독립인 벡터들의 집합이다.

기저는 생성이 공간 V인 일차독립인 벡터들의 집합이다. 그러니 기저는 생성이 공간 V인 벡터들의 집합 가운데 극소인 집합이다. 기저에서 원소를 하나 빼면 생성은 더는 공간 V가 아니다. 벡터를 하나 더하면 그 벡터는 나머지 벡터들의 일차결합이 된다.

공간 ℝⁿ에서는 성분이 n개인 순서쌍 (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1)의 집합이 공간 ℝⁿ의 기저를 이루고, 이 기저를 표준기저라고 한다. 예를 들어 ℝ³에서는 표준기저 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 얻는다. 이때 벡터 (a, b, c)는 다음 일차결합으로 얻는다.

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

벡터 (0, 1, 0)을 빼면 이 새 집합의 생성은 ℝ³가 아니다. 벡터 (14, −2, 5)를 더하면 이 벡터는 계수가 a = 14, b = −2, c = 5인 나머지 벡터들의 일차결합이다.

기저의 기본 성질

• 모든 선형공간 V에는 기저가 있다. 자명한 공간 {0}, 즉 영벡터 하나만 포함하는 공간의 기저는 공집합이다. 일차독립인 집합 B₀ ⊆ V는 모두 공간 V의 기저이거나 기저로 확장할 수 있다. B₀이 기저가 아니면, 즉 ⟨B₀⟩ ≠ V이면 벡터 x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩이 있다. 이 벡터는 B₀의 벡터들의 일차결합이 아니다. 이 벡터를 집합 B₀에 넣어 새 집합 B₁ = B₀ ∪ {x₀}을 얻는다. 이번에도 B₁은 기저이거나 기저로 확장할 수 있다고 말할 수 있다. 공간 V에 유한 기저가 있으면 유한 번의 단계로 공간 V의 기저가 되는 일차독립인 벡터들의 집합 B_n을 얻는다.

• 공간의 기저는 하나로 정해지지 않는다. 기저는 언제나 여러 개 있다.

• 벡터공간의 기저는 모두 원소(벡터)의 개수가 같거나 모두 무한하다. 예를 들어 공간 ℝ²의 기저는 모두 벡터가 두 개이고, 원소가 세 개인 집합이나 한 개인 집합은 공간 ℝ²의 기저가 아니다.

• 공간 V의 기저 B = {e₁, …, e_n}이 있으면 공간 V의 모든 벡터 x를 기저 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 즉 다음을 만족하는 실수 계수 a₁, …, a_n이 있다.

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  이때 이 계수들은 하나로 정해진다. 즉 계수 b₁, … b_n에 대해

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  이 성립한다면 a₁ = b₁, …, a_n = b_n이어야 한다.