기저변환행렬

벡터공간 V와 그 기저 두 개가 있으면 공간의 한 벡터를 두 기저의 벡터들의 일차결합으로 각각 나타낼 수 있다. 기저변환행렬은 한 표현을 다른 표현으로 바꾸는 데 쓴다.

동기

n차원 벡터공간 V와 그 서로 다른 기저 두 개 E = {e₁, …, e_n}, F = {f₁, …, f_n}이 있다고 하자. 또 V의 어떤 벡터 x를 잡는다. x는 공간 V에 있고 E와 F는 모두 이 공간의 기저이므로 다음을 만족하는 계수 a₁, …, a_n이 있어야 하고,

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

동시에 다음을 만족하는 계수 b₁, …, b_n도 있어야 한다.

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

첫 번째 경우에는 벡터 x를 기저 E로, 두 번째 경우에는 기저 F로 나타낸다. x를 나타내는 데 서로 다른 기저 두 개를 쓰므로 계수도 서로 다른 두 묶음 a_i와 b_i를 얻는다. 그러면 질문이 생긴다. 계수 b_i를 알 때 이 계수에서 계수 a_i, 즉 첫 번째 기저에 대한 표현을 얻는 방법이 있을까?

있다. 그것이 바로 기저변환행렬이다.

기저변환행렬을 구하는 방법

계속해서 공간 V와 기저 두 개 E = {e₁, …, e_n}, F = {f₁, …, f_n}이 있다고 하자. E는 공간 V의 기저이므로 벡터 f₁, …, f_n도 모두 기저 E의 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 벡터 f₁, …, f_n은 기저 F에 속하지만 동시에 공간 V의 보통의 원소이므로 다음이 성립해야 한다.

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

이제 이 식들을 행렬로 옮겨 적는데, 행렬의 첫 번째 열에는 벡터 f₁의 계수 a_i1을, 두 번째 열에는 벡터 f₂의 계수 a_i2를 적는 식으로 한다. 그러면 다음 행렬을 얻는다.

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

이 행렬을 기저 E에서 기저 F로의 기저변환행렬이라고 한다. V의 벡터 x = (x₁, …, x_n)의 기저 F에 대한 계수가 b₁, …, b_n이면 기저 E에 대한 계수 a₁, …, a_n은 다음과 같이 얻는다.

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

예제

벡터공간 ℝ³에서 생각하자. 한 기저로 표준기저 E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}을, 다른 기저로 F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}를 고른다. 기저 E에서 기저 F로의 기저변환행렬은 다음과 같다.

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

이제 임의의 벡터 x ∈ ℝ³, 예를 들어 x = (12, 41, 28)을 고른다. 이 벡터의 기저 F에 대한 계수는 b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7이다. 그래서 행렬의 곱을 구한다.

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

기저 E에 대해 벡터 x의 계수는 a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28이다. 즉 다음이 성립한다.

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$