차원
벡터공간의 차원은 그 벡터공간의 기저의 원소의 개수와 같다. 기저가 무한하면 차원도 무한하다고 한다.
벡터공간의 차원의 정의
벡터공간 V와 그 기저 B가 있다고 하자. 즉 B ⊆ V이고, 집합 B는 일차독립인 벡터들로 이루어지며, 집합 B의 생성은 공간 V와 같다. ⟨B⟩ = V이다.
기저 B의 원소가 유한 개, 즉 n개이면 공간 V의 차원은 n이라고 한다. 차원은 dim으로 나타내므로 dim V = |B| = n이다. 기저 B가 무한하면 공간의 차원도 무한하다고 한다. 공간의 기저는 언제나 모두 크기가 같으므로 어떤 기저를 잡든 상관없다.
예: 공간 ℝ3의 기저는 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)이다. 모두 벡터 세 개이므로 dim ℝ3 = 3이다. 일반적으로 dim ℝn = n이라고 말할 수 있다.
공간 V의 차원이 n이면 n차원 벡터공간이라고 한다.
벡터공간의 차원의 성질
- 벡터공간 V와 그 부분공간 W ⊆ V가 있다고 하자. 그러면 dim W ≤ dim V이다.
- 유한 차원 벡터공간 V와 그 부분공간 W ⊂ V가 있다고 하자. 그러면 dim W < dim V이다. 이 항목은 W = V를 허용하지 않는다는 점이 다르다. 그러니 V보다 작은 부분공간 W가 있으면 이 부분공간의 차원도 더 작다. 왜일까? W의 벡터들의 일차결합이 아닌, 따라서 W의 어떤 기저의 벡터들의 일차결합도 아닌 벡터 x ∈ V ∖ W가 있기 때문이다.
- 공간 V의 차원이 n이면 일차독립인 벡터 n개는 어떤 것이든 공간 V의 기저를 이룬다. 그리고 벡터 n + 1개의 집합은 일차종속인 벡터들의 집합이다.