Subruang vektor

Subruang vektor ialah subset bagi suatu ruang vektor yang masih tertutup terhadap penambahan dan pendaraban skalar.

Takrif

Katakan kita mempunyai suatu ruang vektor V. Subruang vektor W ialah suatu subset bagi ruang V, dengan keadaan set W itu sendiri juga merupakan ruang vektor. Oleh itu, subset W ⊆ V yang tidak kosong mesti memenuhi dua syarat ini untuk menjadi subruang vektor bagi ruang V: bagi semua x, y ∈ W dan bagi setiap a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Jadi, kita mesti memilih subset daripada V yang vektornya tertutup terhadap penambahan dan pendaraban.

Subruang bagi ruang R³

Mari kita ambil ruang ℝ³ dan cari suatu subruangnya.

1. Bagaimana dengan semua tigaan berbentuk (a, a, a), dengan a ∈ ℝ? Iaitu tigaan seperti $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ atau (−π, −π, −π). Subruang seperti ini, katakan W₁, ialah subset bagi ruang ℝ³, iaitu W₁ ⊆ ℝ³, kerana ℝ³ mengandungi semua tigaan.

Ruang seperti ini tertutup terhadap operasi penambahan vektor, kerana

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Selepas menambah dua vektor, kita memperoleh vektor baharu yang juga mempunyai tiga komponen yang sama, dan vektor seperti ini terkandung dalam set W₁. Jadi, set W₁ memenuhi syarat pertama subruang vektor. Adakah set ini juga memenuhi syarat kedua?

Ya, kerana pendaraban dengan k mengubah ketiga-tiga komponen vektor, tetapi kesemuanya dengan cara yang sama:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Sekali lagi kita memperoleh vektor yang ketiga-tiga komponennya sama, dan vektor seperti ini berada dalam set W₁. Oleh itu, set W₁ ialah subruang vektor bagi ℝ³.

• Kita boleh cuba mengambil semua tigaan (a, b, c) dengan keadaan a, b, c ∈ [−1, 1]. Set ini kita tandakan dengan W₂, dan unsurnya ialah, misalnya, tigaan $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ atau $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Adakah unsur W₂ tertutup terhadap penambahan? Tentu tidak, kerana $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ sama dengan tigaan $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, yang tidak tergolong dalam W₂. Oleh itu, set W₂ tidak membentuk subruang bagi ruang ℝ³; malah set W₂ tidak membentuk ruang langsung.

• Sekarang kita ambil semua tigaan berbentuk (a, 0, b), dengan a, b ∈ ℝ. Inilah semua tigaan yang komponen keduanya sifar. Kita tandakan set ini dengan W₃. Adakah set ini tertutup terhadap penambahan? Ya, kerana

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Hasilnya ialah tigaan (a + c, 0, b + d) yang komponen keduanya sifar dan dua komponen yang lain nombor nyata. Tigaan ini tentu berada dalam W₃. Adakah W₃ tertutup terhadap pendaraban? Ya, kerana

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Sekali lagi kita memperoleh tigaan (k · a, 0, k · b) yang komponen keduanya sentiasa sifar dan komponen yang lain nombor nyata. Tigaan seperti ini ialah unsur W₃. Oleh itu, set W₃ membentuk subruang bagi ruang ℝ³. Perhatikan bahawa jika tigaan itu berbentuk (a, b, 0) atau (a, 0, 0), tigaan itu juga membentuk subruang vektor.

Subruang polinomial

Dalam artikel sebelum ini, kita telah menunjukkan ruang vektor yang terdiri daripada polinomial. Sebagai ulang kaji: polinomial ialah ungkapan berbentuk

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Kita andaikan bahawa a_n ≠ 0. Darjah polinomial ini ialah nombor n. Nombor nyata a₀, …, a_n dipanggil pekali polinomial. Contoh polinomial ialah ungkapan 4 + 3x − 7x². Mari kita cuba mencari suatu subruang vektor. Katakan kita mempunyai ruang vektor P(x) yang terdiri daripada semua polinomial.

1. Mula-mula kita cuba set semua polinomial berdarjah n, dengan n ≥ 0; kita tandakan set ini dengan W₁. Dalam artikel sebelum ini, kita telah menyatakan bahawa set ini bukan ruang vektor langsung, jadi set ini tentu bukan subruang vektor bagi ruang P(x). Sebagai ulang kaji, jika kita mendarab suatu polinomial dalam W₁ dengan sifar, kita memperoleh polinomial p(x) = 0, yang mengikut takrif berdarjah −1. Unsur ini tentu tiada dalam mana-mana W₁.

2. Kita cuba mengambil semua polinomial berdarjah n dan ke bawah sebagai W₂. Jadi, bagi n = 2, W₂ mengandungi semua polinomial berdarjah 2, 1, 0, −1. Adakah set ini tertutup terhadap penambahan? Ya, kerana darjah hasil tambah dua polinomial berdarjah n tidak akan melebihi n; darjahnya hanya boleh menjadi lebih rendah. Begitu juga, set ini tertutup terhadap pendaraban, kerana sebarang gandaan k bagi polinomial p(x) menghasilkan sama ada polinomial yang sama darjahnya atau polinomial sifar. Kedua-dua kemungkinan ini terkandung dalam set W₂, jadi W₂ membentuk subruang bagi ruang P(X).

Sifat asas subruang

Katakan kita mempunyai ruang vektor V dan dua subruangnya, W₁ dan W₂. Maka

1. Persilangan W₁ ∩ W₂ ialah subruang vektor bagi V.

   Katakan kita mempunyai ruang vektor ℝ³ dan subruang W₁ dan W₂ dengan keadaan W₁ terdiri daripada tigaan berbentuk (a, b, 0) dan W₂ terdiri daripada tigaan berbentuk (a, 0, b), dengan a, b ∈ ℝ. Persilangan W₁ ∩ W₂ ialah set yang mengandungi tigaan berbentuk (a, 0, 0) — set seperti ini jelas merupakan subruang bagi ruang ℝ³.

   Namun, hal ini tentu sahaja bukan bukti. Buktinya seperti berikut: kita ambil sebarang ruang vektor V dan dua subruangnya, W₁ dan W₂. Kita ingin membuktikan bahawa bagi semua x, y ∈ W₁ ∩ W₂, berlaku x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Oleh sebab vektor x dan y terkandung dalam persilangan W₁ ∩ W₂, tentu sahaja x, y ∈ W₁ dan juga x, y ∈ W₂ (hal ini berpunca daripada takrif persilangan set). Oleh sebab W₁ dan W₂ juga ruang vektor, mesti berlaku x + y ∈ W₁ dan juga x + y ∈ W₂ (hal ini berpunca daripada takrif ruang vektor). Sekarang kita mempunyai x + y ∈ W₁ dan juga x + y ∈ W₂, dan daripada ini x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (sekali lagi berdasarkan takrif persilangan set — jika suatu unsur terletak dalam set W₁ dan juga dalam set W₂, unsur itu mesti terletak dalam persilangannya).

   Seterusnya, kita perlu menyemak ketertutupan terhadap pendaraban. Kita perlu membuktikan bahawa bagi semua k ∈ ℝ dan x ∈ W₁ ∩ W₂, berlaku k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Langkahnya sama. Oleh sebab x ∈ W₁ ∩ W₂, maka x ∈ W₁ dan juga x ∈ W₂. Oleh sebab W₁ dan W₂ ialah ruang vektor, maka k · x ∈ W₁ dan juga k · x ∈ W₂, jadi k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Kesatuan W₁ ∪ W₂ tidak semestinya subruang bagi V.

   Untuk membuktikan sifat kedua, cukuplah kita mencari contoh penyangkal yang sesuai. Kita boleh menggunakan ruang W₁ dan W₂ tadi, yang masing-masing terdiri daripada tigaan berbentuk (a, b, 0) dan (a, 0, b). Jika kita mengambil kesatuannya, kita memperoleh semua tigaan yang mesti mempunyai sifar di tempat kedua atau di tempat ketiga. Jadi, vektor (1, 0, 1) dan (1, 1, 0) tentu berada dalam kesatuan W₁ ∪ W₂. Akan tetapi, hasil tambahnya ialah vektor (2, 1, 1), iaitu vektor yang tidak mempunyai sifar di mana-mana kedudukan. Vektor ini tiada dalam W₁ dan tiada dalam W₂, jadi vektor ini juga tidak mungkin berada dalam W₁ ∪ W₂. Jadi, kita telah menemukan dua vektor yang hasil tambahnya tidak tergolong dalam set yang sama, maka set itu tidak mungkin ruang vektor.