Matriks peralihan

Jika kita mempunyai ruang vektor V dan dua asasnya, kita boleh mengungkapkan suatu vektor dalam ruang itu sebagai gabungan vektor daripada kedua-dua asas. Matriks peralihan membantu kita menukar satu ungkapan kepada ungkapan yang lain.

Motivasi

Katakan kita mempunyai ruang vektor V berdimensi n dan dua asasnya yang berbeza, E = {e₁, …, e_n} dan F = {f₁, …, f_n}. Seterusnya, kita pilih suatu vektor x dalam V. Oleh sebab x berada dalam ruang V dan E serta F kedua-duanya asas bagi ruang ini, mesti wujud pekali a₁, …, a_n dengan keadaan:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

dan juga mesti wujud pekali b₁, …, b_n dengan keadaan:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Dalam kes pertama, kita mengungkapkan vektor x dengan asas E, manakala dalam kes kedua dengan asas F. Kita menggunakan dua asas yang berbeza untuk mengungkapkan x, jadi kita juga memperoleh dua set pekali yang berbeza, a_i dan b_i. Timbul soalan: jika kita mengetahui pekali b_i, adakah terdapat cara untuk memperoleh pekali a_i daripadanya, iaitu ungkapan terhadap asas pertama?

Ada, iaitu dengan menggunakan matriks peralihan.

Cara memperoleh matriks peralihan

Kita kekal dengan ruang V dan dua asas E = {e₁, …, e_n} dan F = {f₁, …, f_n}. Oleh sebab E ialah asas bagi ruang V, tentu sahaja semua vektor f₁, …, f_n juga dapat diungkapkan sebagai gabungan linear vektor daripada asas E. Vektor f₁, …, f_n memang tergolong dalam asas F, tetapi vektor itu juga merupakan unsur biasa dalam ruang V, jadi mesti berlaku:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Sekarang kita tulis semula persamaan ini ke dalam matriks supaya lajur pertama matriks mengandungi pekali bagi vektor $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, iaitu a_i1, lajur kedua pekali bagi vektor $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, iaitu a_i2, dan seterusnya. Kita memperoleh matriks:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Matriks seperti ini dipanggil matriks peralihan daripada asas E kepada asas F. Jika kita mempunyai vektor x = (x₁, …, x_n) dalam V yang mempunyai pekali b₁, …, b_n terhadap asas F, maka pekali a₁, …, a_n terhadap asas E diperoleh daripada

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Contoh

Kita bekerja dalam ruang vektor ℝ³. Kita pilih asas piawai E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} sebagai asas pertama dan asas F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)} sebagai asas kedua. Matriks peralihan daripada asas E kepada asas F berbentuk

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Sekarang kita pilih sebarang vektor x ∈ ℝ³, misalnya x = (12, 41, 28). Pekali vektor ini terhadap asas F ialah b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Jadi, kita lakukan pendaraban matriks:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Terhadap asas E, vektor x mempunyai pekali a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Jadi:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$