Contoh ruang vektor

Dalam bahagian sebelum ini, kita telah mentakrifkan ruang vektor, atau ruang linear, dan menunjukkan contoh ruang vektor klasik ℝ². Dalam artikel ini, kita akan melihat contoh lain.

Ruang vektor Rⁿ

Kita sudah mengenal ruang vektor ℝ² yang terdiri daripada vektor berbentuk (a, b), dengan a, b ialah nombor nyata. Kita akan tunjukkan bahawa sebenarnya sebarang set n-tupel tertib ℝⁿ, bagi n > 0, membentuk ruang vektor.

Bagi n = 2, kita memperoleh set pasangan (a, b). Jika kita menaikkan n kepada n = 3, kita memperoleh set tigaan. Dengan itu, kita beralih daripada satah ke ruang. Jadi, ℝ² mewakili satah biasa, dan ℝ³ ruang tiga dimensi biasa.

Takrif operasi penambahan dan pendaraban sama seperti dalam kes n = 2, cuma kita perlu menambah atau mendarab semua komponen vektor:

$$\begin{array}{rcl}(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)& =& (a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)\\ k\cdot (a_1,a_2,\dots ,a_n)& =& (k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n)\end{array}$$

Sekarang kita sepatutnya membuktikan bahawa ruang vektor ℝ³, atau secara umum ℝⁿ, memenuhi ketujuh-tujuh perkara dalam takrif ruang vektor. Namun, buktinya pada dasarnya sama; cuma sebagai ganti vektor dengan dua komponen, kita bekerja dengan vektor dengan tiga komponen. Sebagai contoh, perkara pertama tentang hukum kalis tukar tertib bagi penambahan vektor dibuktikan seperti berikut bagi n = 3:

Kita perlu membuktikan: x + y = y + x, dengan x, y ∈ ℝ³. Kita huraikan penambahan dua vektor:

$$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f)$$

Jika kita menukar kedudukan vektor di sebelah kiri, kita memperoleh:

$$(d,e,f)+(a,b,c)=(d+a,e+b,f+c)$$

Daripada sifat penambahan dua nombor nyata, kedua-dua vektor yang diperoleh sama, iaitu (a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c).

Jika anda membandingkannya dengan bukti bagi n = 2 dalam artikel sebelum ini, anda akan dapati bahawa bukti itu hampir sama. Oleh itu, enam perkara yang lain dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

Yang menarik, ℝ¹ = ℝ, iaitu set nombor nyata itu sendiri, juga merupakan ruang vektor. Penambahan dan pendaraban vektor menjadi penambahan dan pendaraban biasa nombor nyata, dan operasi penambahan dan pendaraban nombor nyata tentu memenuhi ketujuh-tujuh perkara.

Kita pasti akan bertemu lagi dengan ruang ℝⁿ; ruang ini ialah ruang vektor yang agak lazim.

Ruang vektor matriks m × n

Set semua matriks yang mempunyai m baris dan n lajur dan hanya mengandungi nombor nyata, bersama operasi penambahan matriks dan pendaraban matriks dengan skalar, membentuk ruang vektor. Secara ringkas, ruang ini kita tandakan dengan ℝ^{m × n}.

Bagi m = 2, n = 3, kita memperoleh matriks yang mempunyai dua baris dan tiga lajur. Contoh matriks konkrit ialah

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 1\\ 9& 1& 3\end{array}\right)$$

Operasi penambahan ditakrifkan seperti berikut:

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Ini ialah penambahan matriks biasa. Pendaraban dengan skalar ditakrifkan dengan cara yang serupa:

$$k\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}k\cdot a_{11}& k\cdot a_{12}& \dots & k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22}& \dots & k\cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{m1}& k\cdot a_{m2}& \dots & k\cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Operasi yang ditakrifkan seperti ini pada set semua matriks ℝ^{m × n} membentuk ruang vektor. Yang penting, kita sentiasa mesti mengambil set semua matriks yang sama peringkatnya. Jika matriks berperingkat lain tercampur ke dalamnya, misalnya jika kita menambah matriks berperingkat 3 × 1 kepada ℝ^{2 × 2}, kita akan menghadapi masalah, kerana matriks berperingkat 3 × 1 tidak boleh ditambah dengan matriks berperingkat 2 × 2.

Sekali lagi, kita sepatutnya menyemak bahawa ruang vektor yang ditakrifkan seperti ini memenuhi ketujuh-tujuh syarat yang kita kenakan pada ruang vektor. Oleh sebab bagi matriks penulisannya akan menjadi terlalu panjang, terutamanya bagi saya, kita lakukannya secara ringkas sahaja:

Penambahan dua matriks memberikan matriks baharu yang sama peringkatnya. Pendaraban dengan skalar memberikan matriks baharu yang sama peringkatnya, jadi operasi kita sepadan dari segi jenisnya.

1. x + y = y + x: penambahan matriks jelas kalis tukar tertib, kerana unsur pada kedudukan ij dalam matriks yang diperoleh berbentuk x_ij + y_ij = y_ij + x_ij.

• (x + y) + z = x + (y + z): penambahan matriks juga kalis sekutuan, kerana (x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij)
• a · (b · x) = (a · b) · x: sekali lagi berlaku a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij
• a · (x + y) = a · x + a · y: sekali lagi, bagi unsur pada kedudukan ij, kita memperoleh kesamaan: a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij
• (a + b) · x = a · x + b · x: sekali lagi kita hanya mengungkapkan unsur pada kedudukan ij: (a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij
• 1 · x = x: oleh sebab 1 · x_ij = x_ij, perkara ini juga benar.
• Kewujudan unsur sifar. Unsur itu ialah matriks sifar, kerana bagi semua matriks x dalam ruang vektor kita, berlaku 0 · x_ij = 0

Ruang vektor polinomial

Polinomial ditandakan dengan p(x) dan merupakan ungkapan berbentuk:

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Kita andaikan bahawa a_n ≠ 0. Darjah polinomial ini ialah nombor n. Nombor nyata a₀, …, a_n dipanggil pekali polinomial. Contoh polinomial ialah ungkapan 4 + 3x − 7x², dengan a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, dan darjah polinomial ini ialah 2. Sesetengah pekali boleh jadi sifar, jadi ungkapan x² + π x⁷ ialah polinomial berdarjah 7 dengan a₂ = 1, a₇ = π, dan pekali lain sifar.

Polinomial mudah ditambah — kita hanya perlu menambah pekalinya. Contoh:

$$(2+3x-x^2)+(4-5x+101x^2+5x^3)=6-2x+100x^2+5x^3$$

Secara umum, penambahan polinomial boleh ditakrifkan seperti berikut:

$$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m)=$$

$$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\dots +(a_q+b_q)x^q,$$

dengan q ialah nilai maksimum antara nombor m dengan n. Gandaan k bagi polinomial p(x) pula diperoleh dengan mendarab semua pekali dengan nombor k:

$$k\cdot (a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n)=$$ $$=(k\cdot a_0)+(k\cdot a_1)x+(k\cdot a_2)x^2+\dots +(k\cdot a_n)x^n$$

Sebagai contoh:

$$7\cdot (3+6x-5x^2)=21+42x-35x^2$$

Set semua polinomial, katakan P(X), dengan operasi penambahan dan pendaraban yang ditakrifkan seperti ini, membentuk ruang vektor. Semakan:

Hasil tambah dua polinomial juga polinomial, dan pendaraban dengan skalar juga menghasilkan polinomial baharu. Jadi, operasi yang kita takrifkan sepadan dari segi jenisnya.

Tujuh sifat lain yang mesti dipenuhi oleh ruang vektor boleh anda semak sendiri sebagai kerja rumah. Buktinya hampir sama seperti bagi matriks tadi, cuma sebagai ganti x_ij anda menulis x_i. Polinomial sifar ialah polinomial p(x) = 0.

Bagi matriks, kita mensyaratkan bahawa ruang vektor hanya mengandungi matriks yang sama peringkatnya, tetapi bagi polinomial kita tidak mensyaratkan hal yang serupa. Malah kita tidak boleh mensyaratkannya. Jika kita mengambil set semua polinomial berdarjah dua, set ini tidak membentuk ruang vektor. Mengapa? Kita boleh menunjukkannya dengan contoh penyangkal. Kita tambahkan dua polinomial ini:

$$(1+2x+3x^2)+(1+2x-3x^2)=2+4x$$

Oleh sebab polinomial pertama mengandungi 3x² dan polinomial kedua mengandungi −3x², selepas penambahan kita memperoleh 0x², dan dengan itu darjah polinomial menjadi lebih rendah. Polinomial 2 + 4x ialah polinomial berdarjah 1, bukan 2.