Asas ruang vektor

Asas bagi ruang vektor V ialah set vektor yang tak bersandar linear dan rentangan linearnya ialah ruang V.

Motivasi memperkenalkan asas ruang vektor

Katakan kita mempunyai suatu ruang vektor V dan suatu subset W ⊂ V dengan keadaan rentangan linear ⟨W⟩ bagi set ini sama dengan ruang V, iaitu ⟨W⟩ = V. Contoh: katakan W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} dan V = ℝ².

Jelas bahawa ⟨W⟩ = ℝ². Set W hanya mempunyai tiga vektor, tetapi dengan bantuan rentangan linear, kita dapat menghuraikan seluruh set vektor ℝ² yang tak terhingga. Timbul satu soalan — bolehkah kita membuang beberapa vektor lagi daripada set W dan masih mengekalkan sifat ⟨W⟩ = ℝ²?

Contohnya, jika kita membuang vektor terakhir (2, 3), kita memperoleh set W₁ = {(1, 0), (0, 1)}. Rentangan linear bagi set ini juga ℝ². Jadi, timbul soalan — apakah set vektor terkecil yang rentangan linearnya ialah set ℝ²?

Jika kita membuang salah satu daripada dua vektor yang tinggal dalam W₁, rentangan set itu, katakan W₂, bukan lagi set ℝ². Contohnya, rentangan linear bagi set W₂ = {(1, 0)} ialah set ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ}. Set ini tentu tidak sama dengan set ℝ²; misalnya, vektor (0, 1) tiada di dalamnya.

Oleh itu, set W₁ = {(1, 0), (0, 1)} ialah set vektor minimum yang rentangan linearnya ialah ruang ℝ². Seterusnya, kita mungkin berminat dengan soalan lain:

1. Adakah wujud set satu unsur yang sama sekali berbeza dan rentangan linearnya ialah ruang ℝ²?
2. Adakah wujud satu set vektor terkecil yang unik dan rentangan linearnya ialah ruang ℝ²?

Menurut satu peraturan tidak rasmi tentang tajuk berita, jika tajuk akhbar berbentuk soalan, jawapannya ialah tidak, dan begitu juga dalam kes ini. Tiada set satu unsur yang rentangan linearnya ialah ℝ². Buktinya seperti berikut:

Adakah wujud set satu unsur yang rentangannya ialah ℝ²?

Andaikan wujud set {x} yang mengandungi satu vektor x yang semua gabungan linearnya membentuk ruang ℝ². Maka mesti wujud nombor nyata a₁, a₂ dengan keadaan

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \mathbf{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \mathbf{x}& =& (0,1)\end{array}$$

Mengapa vektor ini? Sebenarnya tidak penting vektor mana yang kita pilih, asalkan vektor itu tak bersandar linear.

Tandakan x = (x₁, x₂). Maka tentu x₁, x₂ ≠ 0, kerana jika x₁ = 0, kita tidak mungkin memperoleh vektor (1, 0) yang dikehendaki sebagai gabungan linear bagi vektor x. Hal yang sama berlaku bagi x₂. Kita huraikan sistem persamaan tadi:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

Kemudian kita tulis sebagai persamaan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

Daripada persamaan kedua dan ketiga, a₁ = a₂ = 0, kerana jika x₁, x₂ ≠ 0, satu-satunya kemungkinan untuk memperoleh sifar dalam hasil darab a₁ · x₂ dan a₂ · x₁ ialah a₁ = a₂ = 0. Akan tetapi, hal ini bercanggah dengan persamaan pertama dan keempat, kerana jika a₁ = 0, maka a₁ · x₁ = 0, sedangkan persamaan pertama menyatakan bahawa a₁ · x₁ = 1.

Oleh itu, tiada set satu unsur yang rentangan linearnya ialah ruang ℝ².

Adakah wujud set vektor terkecil yang rentangannya ialah ℝ²?

Kita tahu bahawa tiada set satu unsur yang mempunyai sifat ini, dan kita tahu bahawa rentangan linear bagi set W = {(1, 0), (0, 1)} ialah ℝ². Jadi, kita bertanya sama ada set ini satu-satunya set dua unsur yang rentangannya ialah ℝ².

Tentu sahaja tidak, kerana set dua unsur yang lain, W = {(2, 0), (0, 2)}, juga mempunyai rentangan ℝ². Sebarang pasangan vektor (a, 0), (0, a), dengan a ∈ ℝ, a ≠ 0, mempunyai rentangan ℝ². Malah sebarang pasangan vektor yang tak bersandar linear mempunyai rentangan ℝ². Oleh itu, terdapat set dua unsur yang tak terhingga banyaknya yang rentangannya menjana ℝ².

Selain itu, sebarang subset tiga unsur W₃ ⊆ ℝ² terdiri daripada vektor yang bersandar. Mengapa? Jika kita mempunyai tiga vektor (a, b), (c, d), (e, f), kita boleh menulisnya dalam matriks:

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

Pangkat matriks ini paling besar dua, jadi semestinya terdapat lajur atau vektor yang bersandar linear.

Takrif asas ruang vektor

Katakan kita mempunyai ruang vektor V, dan katakan B ⊆ V. Kita katakan bahawa B ialah asas bagi ruang vektor V jika:

1. ⟨B⟩ = V
2. B ialah set vektor yang tak bersandar linear.

Asas ialah set vektor tak bersandar yang rentangannya ialah ruang V. Oleh itu, asas ialah set vektor minimum yang rentangannya ialah ruang V. Jika kita membuang satu unsur daripada asas, rentangannya bukan lagi ruang V. Jika kita menambah satu vektor, vektor itu merupakan gabungan linear vektor yang lain.

Dalam ruang ℝⁿ, set n-tupel (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) membentuk asas bagi ruang ℝⁿ, dan asas ini dipanggil asas piawai. Contohnya, bagi ℝ³ kita memperoleh asas piawai (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dalam asas ini, vektor (a, b, c) diperoleh sebagai gabungan

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

Jika kita membuang vektor (0, 1, 0), rentangan set baharu ini bukan lagi ℝ³. Jika kita menambah vektor (14, −2, 5), vektor ini merupakan gabungan linear vektor yang lain dengan pekali a = 14, b = −2, c = 5.

Sifat utama asas ruang vektor

• Setiap ruang linear V mempunyai asas; bagi ruang remeh {0} — ruang yang hanya mengandungi vektor sifar — asasnya ialah set kosong. Setiap set tak bersandar linear B₀ ⊆ V sama ada merupakan asas bagi ruang V, atau dapat dilengkapkan menjadi asas. Jika B₀ bukan asas, iaitu ⟨B₀⟩ ≠ V, maka wujud vektor x₀ ∈ V ∖ ⟨B₀⟩. Vektor ini bukan gabungan vektor daripada B₀. Kita tambahkan vektor ini ke dalam set B₀ dan memperoleh set baharu B₁ = B₀ ∪ {x₀}. Sekali lagi kita boleh mengatakan bahawa B₁ sama ada merupakan asas, atau dapat dilengkapkan menjadi asas. Jika ruang V mempunyai asas yang terhingga, maka dalam bilangan langkah yang terhingga kita memperoleh set vektor tak bersandar B_n yang merupakan asas bagi ruang V.

• Asas bagi suatu ruang tidak unik; sentiasa wujud lebih daripada satu asas.

• Semua asas bagi suatu ruang vektor mempunyai bilangan unsur atau vektor yang sama, atau semuanya tak terhingga. Contohnya, semua asas bagi ruang ℝ² mempunyai dua vektor; tiada set tiga unsur atau set satu unsur yang merupakan asas bagi ruang ℝ².

• Jika kita mempunyai asas B = {e₁, …, e_n} bagi ruang V, maka setiap vektor x dalam ruang V dapat diungkapkan sebagai gabungan linear vektor dalam asas, iaitu wujud pekali nyata a₁, …, a_n dengan keadaan

  $$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  Selain itu, pekali ini unik. Iaitu, jika bagi pekali b₁, … b_n berlaku

  $$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

  maka semestinya a₁ = b₁, …, a_n = b_n.