Dimensi ruang vektor

Dimensi ruang vektor sama dengan bilangan unsur dalam asas ruang vektor itu. Jika asasnya tak terhingga, kita katakan bahawa dimensinya juga tak terhingga.

Takrif dimensi ruang vektor

Katakan kita mempunyai ruang vektor V dan suatu asasnya, B. Jadi, B ⊆ V, set B mengandungi vektor yang tak bersandar linear, dan rentangan linear bagi set B sama dengan ruang V: ⟨B⟩ = V.

Jika asas B mempunyai bilangan unsur yang terhingga, iaitu n, kita katakan bahawa dimensi ruang V ialah n. Dimensi ditandakan dengan perkataan dim, jadi dim V = |B| = n. Jika asas B tak terhingga, kita katakan bahawa dimensi ruang itu juga tak terhingga. Oleh sebab semua asas bagi suatu ruang sentiasa sama saiznya, tidak penting asas mana yang kita ambil.

Contoh: ruang ℝ³ mempunyai asas (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Asas ini terdiri daripada tiga vektor, jadi dim ℝ³ = 3. Secara umum, kita boleh mengatakan bahawa dim ℝⁿ = n.

Jika ruang V mempunyai dimensi n, kita menyebutnya ruang vektor berdimensi n.

Sifat dimensi ruang vektor

• Katakan kita mempunyai ruang vektor V dan suatu subruangnya W ⊆ V. Maka dim W ≤ dim V.
• Katakan kita mempunyai ruang vektor V yang berdimensi terhingga dan suatu subruangnya W ⊂ V. Maka dim W < dim V. Perbezaan perkara ini ialah kita tidak membenarkan W = V. Jadi, jika kita mempunyai subruang W yang lebih kecil daripada V, subruang ini juga mempunyai dimensi yang lebih rendah. Mengapa? Kerana wujud vektor x ∈ V ∖ W yang bukan gabungan linear vektor daripada W, dan oleh itu juga bukan gabungan linear vektor daripada sebarang asas bagi W.
• Jika ruang V mempunyai dimensi n, maka sebarang n vektor yang tak bersandar linear membentuk asas bagi ruang V. Set n + 1 vektor pula sentiasa merupakan set vektor yang bersandar linear.